查看“︁绝对赋值”︁的源代码

{{Not|绝对值}}
{{cleanup-jargon}}
{{noteTA
|1 = zh-hans:复;zh-hant:複;
}}
'''绝对赋值'''是[[库尔特·亨泽尔|Hensel]]引进[[p进数]]后发展出的一个概念，常用于单变量代数函数论或者[[類域論|类域论]]方面的研究。

确切的说，'''绝对赋值'''是一个[[函数]]，是[[整环]]或[[域 (数学)|域]]的元素的“大小”的度量。更确切地说，对整环D，一个绝对赋值| x |是从D到实数R，且满足下列条件的任何映射：

#|x| ≥ 0, 
#|x| = 0 当且仅当 x = 0, 
#|xy| = |x||y|, 
#|x + y| ≤ |x| + |y|. 

从第二条和第三条可以看出，| 1 |=1, | -1| = 1。此外，对于任意正整数 n，
:| 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n.

注意有些英文书绝对赋值叫[[赋值]]（valuations）、[[范数]]（norm）、量值（magnitude）。

== 绝对赋值的类型 ==
如果|x+ y|满足更强的属性 |x+ y|≤MAX（|x|，|y|），那麽|x|被称为超[[度量]]或非[[阿基米德]]绝对赋值，否则就叫[[阿基米德]]绝对赋值。每一个整环有至少有一个绝对赋值，称为平凡[[赋值]]。这种绝对赋值是：当x= 0时|x|= 0，x≠ 0时|x|= 1，有限域只能有平凡[[赋值]]。{{nowrap begin}}|&thinsp;''x''&thinsp;|<sub>1</sub> < 1{{nowrap end}} 当且仅当 {{nowrap begin}} |&thinsp;''x''&thinsp;|<sub>2</sub> < 1.{{nowrap end}}，那么这两个绝对赋值相等.如果两个非平凡绝对赋值是相等的，那么一些指数e，有 |&thinsp;''x''&thinsp;|<sub>1</sub><sup>''e''</sup> = |&thinsp;''x''&thinsp;|<sub>2</sub>。（请注意，不能提高绝对赋值的次幂来获得另一个不同的绝对赋值，例如对实数，一个绝对赋值平方后产生另一个不同值，这种情况就不是一个绝对赋值函数。）绝对赋值可导致到等价类来理解，换言之绝对赋值的等价类，被称为一个[[素点]]。[[奥斯特洛夫斯基定理]]指出，有理数Q中，p-adic数是非平凡绝对赋值，每一个素数p的绝对赋值是有理数Q的[[素点]]：

:''q'' = ''p''<sup>''n''</sup>(''a''/''b''), 其中a，b是不被p整除的整数。
:<math>\left|p^n \frac{a}{b}\right|_p = p^{-n}.</math> 
素点的定义就来自上面普通绝对赋值和p的绝对赋值。

==几何概念联系==
设<math> \scriptstyle\mathfrak{{R}} = \mathbb{{C}}[x,y] </math> 是在[[复数域|复域]]的两个变量的[[多项式环]]，<math> \scriptstyle\mathbb{{K}} = \mathbb{{C}}(x,y) </math> 为[[有理函数]]，并考虑[[收敛]]：
:<math> f(x,y) = y - \sum_{n=3}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \in \mathbb{{C}}\{x,y\}</math>
''<math>t</math>'' 参数化后[[解析零点]]集为''<math> \scriptstyle V_f\,</math>''，则作为[[多项式环]]的[[形式幂级数环]]：
:<math> V_f = \{(x,y)\in\mathbb{C}^2\,|\, f(x,y) = 0\} = \left\{ (x,y)\in\mathbb{C}^2\,|\,(x,y) = \left(t,\sum_{n=3}^{\infty}t^n\right)\right\}</math>。
[[映射]]<math> \scriptstyle v: \mathbb{{C}}[x,y] \rightarrow \mathbb{Z} </math> ，则可能得在<math> \scriptstyle\mathbb{C}[x,y] </math>中的多项式 ''<math>P</math>''的[[限制 (數學)|限制]]：
:<math> 
v(P) = \mathrm{ord}_t\left(P|_{V_f}\right) = {\mathrm{ord}}_t \left(P\left(t,\sum_{n=3}^{+\infty}t^n\right)\right) \quad \forall P\in \mathbb{C}[x,y]
</math>
[[逆映射]]也可能得到[[延拓]]（扩张）：
:<math> 
v(P/Q) = 
\begin{cases}
v(P) - v(Q) & \forall P/Q \in {\mathbb{C}(x,y)}^* \\ 
\infty & P \equiv 0 \in \mathbb{C}(x,y) 
\end{cases}
</math>
若[[形式幂级数环]]不是[[多项式环]]产生的，则容易证明上面逆映射[[延拓]]是赋值，在几何上叫[[曲线]]（[[一维]]解析[[代数簇]]）的[[交点]]。
如：
:<math>
\begin{array}{l}
v(x) = \mathrm{ord}_t(t) = 1 \\
v(x^6-y^2)=\mathrm{ord}_t(t^6-t^6-2t^7-3t^8-\cdots)=\mathrm{ord}_t (-2t^7-3t^8-\cdots)=7 \\
v\left(\frac{x^6 - y^2}{x}\right)= \mathrm{ord}_t (-2t^7-3t^8-\cdots) - \mathrm{ord}_t(t) = 7 - 1 = 6
\end{array}
</math>

== 参考 ==
{{refbegin|2}}
*{{Citation| last = Jacobson| first = Nathan| title = Basic algebra II| place = New York| publisher = W. H. Freeman and Company| origyear = 1980| year = 1989| edition = 2<sup>nd</sup>| chapter = Valuations: paragraph 6 of chapter 9| zbl = 0694.16001| isbn = 0-7167-1933-9}}. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
*Chapter VI of {{Citation| last=Zariski| first=Oscar| last2=Samuel| first2=Pierre| title=Commutative algebra, Volume II| publisher=Springer-Verlag| location=New York, Heidelberg| series=Graduate Texts in Mathematics| volume=29| year=1976| origyear=1960| isbn=978-0-387-90171-8}}
{{refend}}

== 外部链接 ==
{{refbegin|2}}
*{{springer| title= Valuation| id= V/v096010| last= Danilov| first= V.I.}}
*{{PlanetMath|urlname=DiscreteValuation|title=Discrete valuation}}
*{{PlanetMath|urlname=Valuation|title=Valuation}}
*{{MathWorld |title=Valuation |urlname=Valuation}}
{{refend}}

[[Category:抽象代數]]