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[[数学]]中，特别是在[[主丛]]理论中，我们可问一个 <math>G</math>-丛能否“来自”一个子群 <math>H < G</math>。这称为'''结构群的约化'''（{{lang|en|Reduction of structure group}}，约化为 <math>H</math>），且对任何映射 <math>H\to G</math> 有意义，不必要求是包含（尽管使用了这个术语）。

==定义==
正式的，给定一个 ''G''-丛 ''B'' 与映射 ''H'' &rarr; ''G''（不必是包含），'''结构群的约化'''（从 ''G'' 到 ''H''）是一个 ''H''-丛 <math>B_H</math> 使得[[推出 (范畴论)|推出]] <math>B_H \times_H G</math> 同构于 ''B''。

注意到这不一定存在，如果存在也不必惟一。

作为一个实例，每个偶数维实向量空间是一个复向量空间的背景实空间：它有一个[[线性复结构]]。一个实向量空间有一个[[殆复结构]]当且仅当它是一个复向量丛的背景实丛。这是沿着包含 ''GL''(''n'','''C''') &rarr; ''GL''(2''n'','''R''') 的一个约化。

用转移映射的术语来说，一个 ''G''-丛可以约化当且仅当转移映射可以取值于 ''H''。注意术语约化可能有误导性：它暗示 ''H'' 是 ''G'' 的一个子群，这是通常的情形，但不是必须的（比如[[自旋流形]]）：更准确的说法是一个[[同伦提升性质|提升]]。

更抽象地，“''X'' 上 ''G''-丛”是 ''G'' 的一个[[函子]]<ref>事实上这是 ''G'' 与 ''X'' 的一个[[双函子]]。</ref>：给定一个映射 ''H'' &rarr; ''G''，[[诱导表示|诱导]]一个从 ''H''-丛到 ''G''-丛的一个映射（见上）。''G''-丛 ''B'' 结构群的约化选择一个 ''H''-丛使其像是 ''B''。

从 ''H''-丛到 ''G''-丛的包含映射一般不是满的也不是单的，故结构群不是总能约化，且如果可以时，约化也不必是惟一的。例如，不是每个流形是[[定向]]的，而可定向的流形恰有两个定向。

如果 ''H'' 是 ''G'' 的一个子李群，则在 ''G''-丛 ''B'' 到 ''H'' 的约化与 ''B'' 商去由 ''H'' 的作用得到的[[纤维丛]] ''B''/''H'' 之整体[[截面 (纤维丛)|截面]]之间有一个一一对应。具体地，纤维化 ''B'' &rarr; ''B''/''H'' 是 ''B''/''H'' 上一个主 ''H''-丛。如果 &sigma; : ''X'' &rarr;  ''B''/''H'' 是一个截面，则[[拉回丛]] ''B''<sub>H</sub> = &sigma;<sup>−1</sup>''B'' 是 ''B'' 的一个约化。

==例子==
[[向量丛]]的一些例子，特别是一个[[流形]]的切丛]]：
* <math>GL^+ < GL</math> 是一个[[定向]]，当且仅当丛是定向的才可行；
* <math>SL < GL</math> 是一个[[体积形式]]；因为 <math>SL \to GL^+</math> 是一个[[形变收缩]]，体积形式]]存在当且仅当丛可定向；
* <math>SL^{\pm} < GL</math> 是一个伪体积形式，这总是可行的；
* <math>O(n) < GL(n)</math> 是一个度量；因 <math>O(n)</math> 是[[极大紧子群]]（故包含是一个形变收缩），这总是可行的；
* <math>GL(n,\mathbf{C}) < GL(2n,\mathbf{R})</math> 是一个[[殆复结构]]；
* <math>\mbox{Spin}(n) \to \mbox{SO}(n)</math> （这不是包含而是一个二重[[覆叠空间]]）是一个[[自旋结构]]。
* <math>GL(k) \times GL(n-k) < GL(n)</math> 将一个向量丛分解为一个秩 ''k'' 与 ''n-k'' 子丛之[[惠特尼和]]。

==可积性==
许多几何结构强于 ''G''-结构；它们是具有一个可积性条件的 ''G''-结构。从而这样一个结构要求一个结构群的约化（可能有阻碍，见下），但这不是充足的。这样的例子包括[[复结构]]、[[辛结构]]（相对于[[殆复结构]]与[[殆辛结构]]）。

另一个例子关于[[叶状结构]]，这要求将[[切丛]]结构群约化为一个分块矩阵，以及一个可积性条件，于是便可用[[弗罗贝尼乌斯定理]]。

==阻碍==
''G''-丛由[[分类空间]] ''BG'' 分类，类似的 ''H''-丛由分类空间 ''BH'' 分类，一个 ''H''-丛上的诱导 ''G''-结构对应于包含映射 <math>BH \to BG</math>。故给定一个具有分类映射 <math>\xi\colon X \to BG</math> 的 ''G''-丛，结构群的约化之阻碍是 <math>\xi</math> 作为一个到[[上纤维]] <math>BG/BH</math> 映射的类；结构群可以约化当且仅当 <math>\bar \xi</math> 所在的类是[[零同伦]]的。

当 <math>H \to G</math> 是[[同伦等价]]的，上纤维可缩，从而结构群的约化没有阻碍，例如 <math>O(n) \to GL(n)</math>。

反之，由平凡群包含 <math>e \to G</math> 诱导的上纤维还是 <math>BG</math>，故[[绝对平行]]（丛的平凡化）的阻碍是丛的类。

===一点上的结构===
作为一个简单的例子，视一个 <math>G</math>-空间为一点上的 <math>G</math>-丛，将一个 <math>G</math>-空间约化为 <math>H</math>-空间没有阻碍。在此情形分类映射是[[零同伦]]，因定义域是一个点。从而“向量空间结构群的约化”没有任何阻碍；故任何向量空间有一个定向，等等。

==相关条目==
* [[相伴丛]]

==注释==
<references/>

[[Category:流形上的结构]]
[[Category:纤维丛]]
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:微分几何]]