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[[File:Empirical CDF.png|thumb|300px|蓝线为经验分布函数，黑色长条表示相应的样本，绿线则是用于生成样本的累积分布函数。]]
'''经验分布函数'''（{{lang-en|empirical distribution function}}）是[[统计学]]中一个与[[样本]]经验测度有关的分布函数。该[[累积分布函数]]是在所有{{math|''n''}}个数据点上都跳跃{{math|1/''n''}}的[[阶跃函数]]。对被测变量的某个值而言，该值的分布函数值表示所有观测样本中小于或等于该值的样本所占的比例。

经验分布函数是对用于生成样本的累积分布函数的估计。根据{{le|格利文科-坎泰利定理|Glivenko–Cantelli_theorem}}可以证明，经验分布函数以概率1收敛至这一累积分布函数。

== 定义 ==
令{{math|(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>)}}为独立同分布的的实随机变量，它们共同的累积分布函数为{{math|''F''(''t'')}}。于是，经验分布函数可定义为
<ref name="vdv265">
  {{cite book
  | last = van der Vaart | first = A.W.
  | title = Asymptotic statistics
  | url = https://archive.org/details/asymptoticstatis00vaar_317 | year = 1998
  | publisher = Cambridge University Press
  | isbn = 0-521-78450-6
  | page = [https://archive.org/details/asymptoticstatis00vaar_317/page/n280 265]
  }}
</ref><ref>[http://planetmath.org/empiricaldistributionfunction PlanetMath] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20130509235041/http://planetmath.org/empiricaldistributionfunction |date=May 9, 2013 }}</ref>
: <math>\hat F_n(t) = \frac{\mbox{number of elements in the sample} \leq t}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{x_i \le t},</math>
其中<math style="vertical-align:-.3em">\mathbf{1}_{A}</math>为事件{{math|''A''}}的[[指示函数]]。对给定的{{math|''t''}}，<math style="vertical-align:-.3em">\mathbf{1}_{x_i \le t}</math>是{{math|''p'' {{=}} ''F''(''t'')}}时的[[伯努利分布|伯努利]]随机变量。因而<math style="vertical-align:-.3em">n \hat F_n(t)</math>则是期望为{{math|''nF''(''t'')}}、方差为{{math|''nF''(''t'')(1 − ''F''(''t''))}}的[[二项分布|二项]]随机变量。这意味着<math style="vertical-align:-.3em">\hat F_n(t)</math>是{{math|''F''(''t'')}}的[[估计量的偏差|无偏估计]]。

不过，有些文献中亦会将经验分布函数定义为<ref>Coles, S. (2001) ''An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values''. Springer, p. 36, Definition 2.4.  {{ISBN|978-1-4471-3675-0}}.</ref><ref>Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, S.C. (2006) ''Methods of Structural Safety''. Dover Publications. p. 148-149. {{ISBN|0486445976}}</ref>
:<math>\hat F_n(t) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{x_i \le t}.</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{统计学}}

[[Category:函数]]
[[Category:统计学]]