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{{noteTA|G1=物理學}}
'''经典力学'''是[[力学]]的一个分支。经典力学是以[[牛顿运动定律]]为基础，在[[宏观]]世界和低速状态下，研究物体运动的基本学科。在[[物理學]]裏，经典力学是最早被接受为[[力學]]的一个基本綱領。经典力学又分为[[静力学]]（描述静止物体）、[[运动学]]（描述物体运动）和[[动力学]]（描述物体受力作用下的运动）。16世纪，[[伽利略·伽利莱]]就已采用科学[[实验]]和[[数学分析]]的方法研究[[力学]]。他为后来的科学家提供了许多豁然开朗的启示。[[艾萨克·牛顿]]则是最早使用数学语言描述力学定律的科学家。

后来，[[拉格朗日]]、[[哈密顿]]创立更为抽象的研究方法來表述经典力学。新的表述形式被称为[[拉格朗日力学]]和[[哈密顿力学]]。这些进步主要发生在18世纪和19世纪，新的表达方式大大超出了牛顿所表达经典力学的工作范围，特别是通过使用分析力学，经过一些修改即可用于现代物理学的所有领域。

在研究速度不接近光速、质量不是非常大的宏观物体时，经典力学提供了非常精确的结果。然而，当被检测的对象尺度具有大约原子直径的大小时，需要引入[[量子力学]]；描述物体速度接近光速时，需要引入[[狭义相对论]]；如果研究大質量对象，需要引入[[广义相对论]]。<ref name=Griffiths2008>{{citation | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Elementary Particles |edition=2nd revised | publisher=WILEY-VCH |year=2008|isbn= 978-3-527-40601-2}}</ref>{{rp|2}}

目前主流的研究将[[相对论力学]]纳入经典物理学，在他们看来，相对论力学以最发达和最准确的形式来代表经典力学。{{fact}}<!-- “经典”的概念可能有些令人困惑，因为这个术语通常指的是欧洲历史上古典的时代。虽然那个时期数学中的许多发现在现在都适用并且有很大用处，但从那时起出现的大部分科学，已经被目前更准确的模型所取代。这绝不会损害目前的科学，因为大多数现代物理学都直接建立在这些发展之上。在现代意义上，经典力学的出现是科学发展的决定性阶段。最重要的是，它的特点是坚持用更严格的方法来描述。这种严格的基础只能通过数学处理和依赖实验来获得，而不是推测。经典力学建立了一种以定量方式预测物体行为的方法，以及通过精心设计的测量来测试这些预测的方法。新兴的全球合作努力提供了更多的理论和实验的审查和测试。这仍然是确立知识的确定性并使其为社会服务的关键因素。历史表明，社会健康和财富紧密依赖于培养这种调查和批判的方法。 -->

== 簡介 ==
[[File:Newtons_laws_in_latin.jpg|thumb|200px|以[[拉丁文]]撰寫的[[牛頓第一定律]]及[[牛頓第二定律]]原本（1687年版）]]
经典力学是以[[牛顿运动定律]]为基础，以下分别列出三條[[牛顿运动定律]]：
# 第一定律：如果物体处于静止状态，或呈等速直线运动，只要没有外力作用，物体将保持静止状态，或呈等速直线运动之状态。这定律又称为惯性定律。
# 第二定律：物体的加速度，与所受的净外力成正比。加速度的方向与净外力的方向相同。即<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!</math>；其中，<math>\mathbf{a}\,\!</math>是加速度，<math>\mathbf{F}\,\!</math>是淨外力，<math>m\,\!</math>是质量。
# 第三定律：两个物体的相互作用力总是大小相等，方向相反，作用力與反作用力作用於不同物體上，且同时出现或消失。强版第三定律还額外要求两支作用力的方向都處於同一直线。

经典力学推翻了绝对[[空间]]的概念：即在不同空间发生的事件是绝然不同的。例如，静挂在移动的火车车厢内的时钟，对于站在车厢外的观察者来说是呈移动状态的。但是，经典力学仍然确认[[时间]]是绝对不变的。

由伽利略和牛顿等人发展出来的力学，着重于分析[[位移]]、[[速度]]、[[加速度]]、[[力]]等等[[矢量]]间的关系，又称为'''矢量力学'''。它是工程和日常生活中最常用的表述方式，但并不是唯一的表述方式：[[約瑟夫·拉格朗日]]、[[威廉·哈密頓]]、[[卡爾·雅可比]]等发展了经典力学的新的表述形式，即所谓[[分析力学]]。分析力学所建立的框架是[[近代物理]]的基础，如[[量子场论]]、[[广义相对论]]、[[量子引力]]等。

[[微分几何]]的发展为经典力学注入了蒸蒸日盛的生命力，是研究现代经典力学的主要数学工具。在日常经验范围中，采用经典力学可以计算出精确的结果。但是，在接近[[光速]]的高速度或強大[[万有引力|重力場]]的系统中，经典力学已被[[相對論|相对论力学]]取代；在小距离尺度系统中又被[[量子力學]]取代；在同时具有上述两种特性的系统中则被[[量子场论|相对论性量子场论]]取代。虽然如此，经典力学仍旧是非常有用的。因为下述原因：
# 它比上述理论简单且易于应用。
# 它在许多场合非常准确。经典力学可用于描述人体尺寸物体的运动（例如[[陀螺]]和[[棒球]]），许多天体（如[[行星]]和[[星系]]）的运动，以及一些微尺度物体（如有机[[分子]]）。

雖然經典力學和其他“经典”理论（如经典[[电磁学]]和[[热力学]]）大致相容，在十九世纪末，还是发现出有些只有现代物理才能解释的不一致性。特别是，经典非相对论电动力学预言[[光波]]傳播於[[以太]]內的速度是常數，经典力学无法解释这预测，因而导致了[[狭义相对论]]的发展。经典力学和经典热力学的结合又导出[[吉布斯悖论|吉布斯佯谬]]（[[熵]]不具有[[良好定義]]）和[[紫外灾变]]（在[[頻率 (物理學)|頻率]]趨向於無窮大時，[[黑體輻射]]的理論結果和實驗數據無法吻合）。为解决这些问题的努力造成了[[量子力學]]的發展。

== 理论的表述 ==
[[File:Tir parabòlic.png|thumb|250px|[[拋物線|拋物線運動]]的理論分析屬於古典力學的領域。]]
经典力学有许多不同的理论表述方式：
* 牛顿力学（矢量力学）的表述方式。
* [[拉格朗日力学]]的表述方式。
* [[哈密顿力学]]的表述方式。

以下介绍經典力學的几个基本概念。为简单起见，經典力學常使用[[点粒子]]来模拟实际物体。点粒子的尺寸大小可以被忽略。点粒子的运动可以用一些参数描述：位移、質量、和作用在其上的力。

实际而言，經典力學可以描述的物体总是具有非零的尺寸。（超小粒子的物理行为，例如[[電子]]，必须用[[量子力學]]才能正确描述）。非零尺寸的物体比虚构的点粒子有更复杂的行为，这是因为[[自由度 (物理学)|自由度]]的增加，例如棒球在移动的同时也可以旋转。虽然如此，点粒子的概念也可以用来研究这种物体，因为这种物体可以被视为由大量点粒子组成的复合物。如果复合物的尺寸极小于所研究问题的距离尺寸，则可以推断复合物的[[质心]]与点粒子的行为相似。因此，使用点粒子也适合于研究这类问题。

=== 位置及其导数 ===
在空间内，设定一[[坐标系]]。参考此坐标系，点粒子的[[位置向量|位置]]，又称为[[位置向量]]，定义为从[[原点]]O指达粒子的[[向量]]<math>\mathbf{r}\,\!</math>；向量的端點為原点O，矢點為粒子所处地点。如果，点粒子在空间内移动，位置會随时间而改变，则<math>\mathbf{r}\,\!</math>是时间<math>t\,\!</math>(从任意的初始时刻开始的[[时间]]）的函数。在[[爱因斯坦]]的相对性理论之前（[[伽利略相对性原理]]），时间被认为在所有[[参考系]]中是绝对的。也就是说，不同的观察者在各自的[[参考系]]中所测量的时间间隔都等值。并且，經典力學假设空间为[[欧几里得几何]]空间。

[[位移]]是[[位置向量|位置]]的改變。假設從舊位置<math>\mathbf{r_1}\,\!\,\!</math>改變到新位置<math>\mathbf{r_2}\,\!\,\!</math>，則位移是<math>\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}\,\!\,\!</math>。使用[[向量分析]]的術語，假設一個[[粒子]]的位置，從舊位置移動到新位置，則位移是端點為舊位置，矢點為新位置的[[向量]]，又稱為[[位移|位移向量]]。

==== 速度 ====
[[速度]]是位移对于时间的[[微积分学|变化率]]，正式定义为位移对于时间的[[导数]]。以方程式表达
:<math>\mathbf{v} = {\mathrm{d}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t}\qquad\,\!</math>；

其中，<math>\mathbf{v}\,\!</math>是速度。

在经典力学中，速度可以直接地相加或相减。例如，假设一辆车以向东60 km/h的速度超过另一辆以50 km/h向东的车，从较慢车的角度来看，它的速度是向东60 − 50 = 10 km/h.从较快车的角度来看，较慢车以10 km/h向西行驶。如果车是向北行驶呢？速度以向量形式直接相加；但必须用[[向量分析]]的方法来处理。 

假设，第一辆车的速度为<math>\mathbf{u} = u\mathbf{d}\,\!</math>，第二辆车的速度为<math>\mathbf{v}=v\mathbf{e}\,\!</math>；其中，两辆车的速率分别为<math>u\,\!</math>和<math>v\,\!</math>，而<math>\mathbf{d}\,\!</math>和<math>\mathbf{e}\,\!</math>分别为两辆车朝着运动方向的[[单位向量]]。那麼，从第二辆车观察，第一辆车的速度<math>\mathbf{u}'\,\!</math>为
:<math>\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v}\,\!</math>。

同样地，从第一辆车观察，第二辆车的速度<math>\mathbf{v}'\,\!</math>为
:<math>\mathbf{v}'= \mathbf{v} - \mathbf{u}\,\!</math>。

假设这两辆车的运动方向相同，<math>\mathbf{d}= \mathbf{e}\,\!</math>，则这公式简化为
:<math>\mathbf{u}' =( u - v ) \mathbf{d}\,\!</math>。

在这里，可以忽略方向，只用速率表达：
:<math> u' = u - v \,\!</math>。

==== 加速度 ====
[[加速度]]，或是说速度对于时间的变化率，是速度对于时间的[[导数]]，以方程式表达
:<math>\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}\,\!</math>。

加速度向量可以改变速度大小，改变速度方向，或同时改变速度的大小与方向。如果只有速度的大小（速率）减小，则可以称为'''减速'''或'''变慢'''。但通常来说，速度上的任何改变，包括减速，都可以称为加速度。

==== 惯性参考系 ====
{{main|惯性参考系}}
在空间内，相对于任何参考点（静止中或移动中），一个运动中的粒子的位移、速度、和加速度都可以测量计算而求得。虽然如此，经典力学假定有一组特别的参考系。在这组特别的参考系内，大自然的[[物理定律|力学定律]]呈现出比较简易的形式。称这些特别的参考系为[[惯性参考系]]。惯性参考系有个特性：两个惯性参考系之间的相对速度必是常数；相对于一个惯性参考系，任何非惯性参考系必定呈加速度运动。所以，一个净外力是零的点粒子在任何惯性参考系内测量出的速度必定是常数；只有在净外力非零的状况下，才会有点粒子加速度运动。问题是，因为[[万有引力]]的存在，并无任何方法能够保证找到净外力为零的惯性参考系。实际而言，相对于遥远星体呈现常速度运动的参考系应是优良的选择。

思考同一事件在两个惯性参考系<math>S\,\!</math>和<math>S\,'\,\!</math>的测量结果。假设，相对于<math>S\,\!</math>参考系，<math>S\,'\,\!</math>参考系以速度<math>\mathbf{v}\,\!</math>移动。分别处于这两个参考系的观查者会测量到以下结果：
* <math>\mathbf{u}'= \mathbf{u} - \mathbf{v}\,\!</math>（同一点粒子的运动，在<math>S\,'\,\!</math>测量的速度是在<math>S\,\!</math>测量的速度减去<math>\mathbf{v}\,\!</math>）。
* <math>\mathbf{a}'=\mathbf{a}\,\!</math>（点粒子的加速度和惯性参考系无关）。
* <math>\mathbf{F}'=\mathbf{F}\,\!</math>（因为<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!</math>，施于点粒子上的力和惯性参考系无关;参见[[牛顿运动定律]]）。
* [[光速]]不是常数。
* [[麦克斯韦方程组]]的形式不是独立于惯性参考系的；从一个惯性参考系转换到另一个惯性参考系，则麦克斯韦方程组的形式可能会改变。

=== 力與加速度；牛顿第二定律 ===
{{main|牛頓運動定律}}
[[牛顿第二定律]]把点粒子的[[质量]]和速度用一个称为[[力]]的向量联系起来。如果<math>m\,\!</math>是点粒子的质量，而<math>\mathbf{F}\,\!</math>是所有作用在其上的力的向量总合（就是，'''净作用力'''），牛顿第二定律表明
: <math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}(m \mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}= {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t}\,\!</math>。

其中，<math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!</math>为[[動量]]。

通常，質量<math>m\,\!</math>与时间无关。那麼，牛顿定律可以简化为
:<math>\mathbf{F} = m \mathbf{a}\,\!</math>。

其中，<math>\mathbf{a} = \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}} {\mathrm{d}t}\,\!</math>是加速度。

但质量并不总是独立于时间。例如，[[火箭]]需要喷出推进剂，才能往前方推进。所以，随着时间演化，火箭质量会渐渐减少。对于此案例，上述方程式并不正确，必须使用牛顿第二定律的完整形式。

牛顿第二定律不足以独立描述粒子的运动，还必需知道<math>\mathbf{F}\,\!</math>的性质和形式。假若，知道施加于点粒子的作用力，则牛顿第二定律足以描述粒子的运动。例如，一个典型的[[摩擦力]]<math>\mathbf{F}_{\rm R}\,\!</math>可以表达为：
:<math>\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v}\,\!</math>。

其中，<math>\lambda\,\!</math>是一个正值常数。

当每个施加於点粒子的作用力的独立关系都被设定後，它们可以被代入牛顿第二定律中，从而得到一个[[微分方程]]，称为[[运动方程]]。继续上面的例子，假設[[摩擦力]]是唯一作用在点粒子上的力，则运动方程为

:<math>- \lambda\mathbf{v}=m\mathbf{a} = m {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}\,\!</math>。

[[积分]]这个运动方程，可以得到
:<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{- \lambda t / m}\,\!</math>；

其中，<math>\mathbf{v}_0\,\!</math>是初始速度。此公式显示出，這粒子的速度是随着时间[[指数函数|指数式递减]]到0。进一步将此公式积分，可以得到位移<math>\mathbf{r}\,\!</math>随着时间的函数。

[[重力]]和[[电磁学]]中的[[洛伦兹力]]是几种常见的力。

牛顿第三定律可以用来推论作用於粒子的力：如果已知粒子A作用於另一粒子B的力是<math>\mathbf{F}\,\!</math>，则粒子B会有一个大小相等、方向相反的反作用力<math> - \mathbf{F}\,\!</math>作用於粒子A。

=== 能量 ===
若施加作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>於某粒子，因而产生位移<math>\Delta\mathbf{r}\,\!</math>，该作用力所做的'''功'''<math>W\,\!</math>是一个[[标量 (物理学)|标量]]
: <math> W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} \,\!</math>。

若粒子的質量不變，而<math>W_{\rm total}\,\!</math>是施加于粒子所有作用力所做的功，通过把每个作用力所做的功加起来得到，从[[牛顿第二定律]]：
: <math>W_{\rm total} = \Delta E_k \,\!</math>。

在这里，<math> E_k\,\!</math>被称为[[動能]]。对于一个粒子，它被定义为
: <math> E_k = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2 \,\!</math>。

对于很多粒子组成的复合物体，合成体的動能是粒子的動能總和。

有一类特殊的力，称为[[保守力]]，可以表达为一个标量函数的[[梯度]]，该函数称为[[势能]]，标记为<math>E_p\,\!</math>：

: <math>\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} E_p\,\!</math>。

如果所有总用在粒子上的力是保守的，而<math>E_p\,\!</math>是所有势能加起来得到的总势能，那麼，
:<math>\mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{s} = - \mathbf{\nabla} E_p \cdot \Delta \mathbf{s} = - \Delta E_p \Rightarrow - \Delta E_p = \Delta E_k \Rightarrow \Delta(E_k + E_p) = 0 \,\!</math>。

这结果称为[[能量守恒定律]]。以公式表达
: <math>E_{total} = E_k + E_p \,\!</math>，

总[[能量]]<math>E_{total}\,\!</math>与时间无关。这结果非常有用。因为，很多常见的力是保守的。

=== 進阶結果 ===
牛頓的定律为复合物体提供了很多重要的结果。在这方面，牛頓定律延伸成为[[歐拉定律]]。描述一维运动的[[微积分]]也可以用来描述[[角動量]]的概念。 

经典力学有两种其它重要的表述：[[拉格朗日力学]]和[[哈密顿力学]]。它们都和牛顿力学相等价。但是，在解决问题上，它们经常有更大的威力。这些和其他的现代表述通常都绕过[[作用力]]的概念，而使用其他[[物理量]]，例如能量、[[拉格朗日量]]或[[哈密顿量]]，来描述力学系统。

=== 經典变换 ===
思考两个参考系<math>S\,\!</math>和<math>S\,'\,\!</math>。对於分别处於这两个参考系的观察者，假设同一个事件在<math>S\,\!</math>参考系中的时空坐标为（<math>x,\ y,\ z,\ t\,\!</math>），在<math>S\,'\,\!</math>参考系中为（<math>x\,',\ y\,',\ z\,',\ t\,'\,\!</math>）。假若時間是有绝对性的（時間在两个参考坐标系的测量值相等），并且要求当<math>t = 0\,\!</math>时，令<math>x\,' = x\,\!</math>。假若<math>S\,'\,\!</math>在<math>x\,\!</math>方向以<math>v\,\!</math>的速度相对于<math>S\,\!</math>运动。那麼，同一事件在两个参考系<math>S\,\!</math>和<math>S\,'\,\!</math>内的时空坐标关系为：
:<math>x\,' = x - vt\,\!</math>、
:<math>y\,' = y\,\!</math>、
:<math>z\,' = z\,\!</math>、
:<math>t\,' = t\,\!</math>。

这一组公式定义了一种[[群作用|群变换]]，称为[[伽利略变换]]。在[[狭义相对论]]的极限状况，当相对速度<math>v\,\!</math>超小於[[光速]]時，这变换是正确的。

当解析某些问题时，采用旋转坐标（参考系）会带来很多便利。可以将旋转坐标与一个简易的惯性参考系保持映射函数关系，或者，也可提出虚假的[[离心力]]或[[科里奥利力]]。

== 歷史 ==
[[古希腊哲学|古希腊的哲学家]]，包括[[亞里士多德]]在内，可能是最早提出“万有之本，必涵其因”论点，以及用抽象的哲理尝试敲解大自然奥秘的思想家。当然，对于现代读者而言，许多仍旧存留下来的思想是蛮有道理的，但并没有无懈可击的数学理论与[[對照實驗]]来阐明跟证实。而这些方法乃现代科学，如古典力学能形成的最基本因素。

[[约翰内斯·开普勒]]為按照[[因果关系|因果關係]]来解释[[天体物理学|行星运动]]的科学家。他从[[第谷·布拉赫]]对[[火星]]的[[天文观测]]资料裏发现了火星[[公转]]的轨道是[[椭圆|椭圆形]]的。这与[[中世纪]]思维的切割，大约发生在西元1600年。差不多于同时，[[伽利略]]用抽象数学定律来解释粒子运动。传说他曾经做过一个很有意思的實驗：他从[[比萨斜塔]]扔下两个不同质量的球，试验这两个球是否会同时落地。虽然这很可能僅止於传说。但他确实進行过在[[斜面]]上滚球的属量性实验；他的加速运动论显然是由这类实验的结果推导出的，而且成为了古典力学的基础。

[[艾萨克·牛顿|牛顿]]在他的巨著《[[自然哲学的数学原理]]》裡发表了[[牛頓萬有引力定律]]與三条[[牛顿运动定律]]：[[牛顿运动第一定律|慣性定律]]，[[牛顿运动第二定律|加速度定律]]和[[牛顿运动第三定律|作用与反作用定律]]。使用運動定律與萬有引力定律，他能够计算出普通物体与天体的运动轨道。特别值得一提的是，他研究出[[开普勒定律]]在理论方面的详解。牛頓先前创发的[[微积分]]是研究古典力学所必备的数学工具。

牛頓和那时期的同仁，除了[[克里斯蒂安·惠更斯]]所研究之波動現象為值得注意的例外，大多数都认为古典力学应可以诠释所有大自然的现象，包括用其分支學術，[[几何光学]]，来解释[[光波]]。甚至于他发现的[[牛頓環]]（一个[[波的干涉|光波干涉]]现象），牛頓都試著用自己的[[光微粒说]]来解释。

十九世纪后期，尖端的理论与实验发掘出许多扑硕迷离的难题。古典力学与[[热力学]]的连结导至出古典[[统计力学]]的[[吉布斯悖论|吉布斯佯谬]]（[[熵]]不是个[[良好定义]]的[[物理量]]）。在原子物理的领域，最基本的问题，像[[拉塞福模型|原子模型]]和[[發射光譜]]等，古典力学都无法给出合理的解释。眾位大师尽心竭力研究这些难题，成功地发展出现代[[量子力学]]。类似地，在座标转换时（转换于两个移动参考系之间），因为古典电磁学和古典力学相互矛盾，表现出不同的物理行为，引起爱因斯坦的关注，经过多年的努力，终就想出惊世的[[相对论]]。

自二十世纪末期以後，不再能虎山独行的古典力学，与[[电磁学|经典电磁学]]共同被牢牢的嵌入[[相对论]]和[[量子力学]]裏面，成为在非相对论性和非量子力学性的極限，研究非相对论性和非量子尺寸物体的物理性质的学术。

== 适用域 ==
[[File:physicsdomains.svg|250px|thumb|經典力學的適用域。]]
大多数经典力学的理论是更精准理论的简化或近似。两个非常精准的學術领域是[[广义相对论]]和[[统计力学|相对论性统计力学]]。[[几何光学]]是[[量子光学]]的近似，并没有比它更优良的经典理论了。

=== 狭义相对论的近似 ===
在牛顿力学，或非相对论性经典力学裏，一个粒子的动量<math>\mathbf{p}\,\!</math>表达为
:<math>\mathbf{p}=m_0\mathbf{v}\,\!</math>；

其中，<math>m_0\,\!</math>是粒子的[[质量]]，<math>\mathbf{v}\,\!</math>是粒子的速度。

在相对论裏，动量表达为<ref name="wolfgang1991">Wolfgang Rindler (1991). ''Introduction to Special Relativity'' (2nd ed.), Oxford University Press.</ref>
:<math>\mathbf{p}=\frac{m_0 \mathbf{v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}\,\!</math>。

其中，<math>m_0\,\!</math>是粒子的[[静止质量]]。

这表达式可以对项目<math>v/c\,\!</math> [[泰勒展开]]为
:<math>\mathbf{p}=\frac{m_0 \mathbf{v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}=m_0 \mathbf{v}\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\dots\right)\,\!</math>。

当<math>v \ll c\,\!</math>，速度超小于光速时，经典近似成立。

举例而言，[[回旋加速器]]，[[磁旋管]]，或高电压[[磁控管]]的相对论性回旋頻率<math>f\,\!</math>为 
:<math>f=f_c\frac{m_0}{m_0 + T/c^2},\,\!</math>；

其中，<math>f_c\,\!</math>是电子的经典頻率，<math>T\,\!</math>是动能。

电子的靜止質量是511KeV。假若，电磁真空管的直流加速电压为5.11KeV，那麼，頻率修正很小，只有1%。

=== 量子力学的近似 ===
当系统尺寸接近[[德布罗意波长]]时，经典力学的射线近似不成立，粒子具有波动性质。根据[[德布罗意假说]]，非相对论性粒子的波长是
:<math>\lambda=h/p\,\!</math>；

其中，<math>h\,\!</math>是[[普朗克常数]]。

因为电子的质量较轻，不需要擁有很大的動量，就會顯示出波動現象。[[克林顿·戴维孙]]和[[雷斯特·革末]]首先觀察到电子的波动性质。於1927年，他们在[[戴維森-革末實驗]]中，将以54V加速，电子波长为0.167 nm的電子束，入射於原子间隔为0.215 nm的[[鎳]][[晶體]]標靶.。細心地測量散射到每個角度的電子束強度，就可以得到電子的繞射圖案，與[[威廉·布拉格]]預測的[[X射線]]繞射圖案完全相同。

在[[电子工程]]领域，有显示经典力学不足的更实际例子，像[[穿隧二極體]]和[[积体电路]]內[[電晶體|電晶體閘極]]的[[量子穿隧效應]]。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* [[麻省理工學院]]物理系視聽教學：[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-01Physics-IFall1999/VideoLectures/index.htm 經典力學1999] {{Wayback|url=http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-01Physics-IFall1999/VideoLectures/index.htm |date=20091203073659 }}.

== 参见 ==
{{Portal|物理学}}
* [[简单机械]]
* [[經典力學方程列表]]
{{-}}
{{經典力學}}
{{Physics-footer}}
{{艾薩克·牛頓}}
[[Category:力学分支]]
[[Category:经典力学| ]]
[[Category:物理學史]]