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{{unreferenced|time=2015-12-05T03:55:25+00:00}}
[[File:Plane-line_intersection.svg|right|thumb|350x350px|线面交点的三种情况：<br>
1. 没有交点；<br>
2. 有且只有一个交点；<br>
3. 有无数个交点。]]

在[[解析几何]]中, 一条[[直线]]与一个[[平面 (数学)|平面]]的交点可能是[[空集]]、一个[[点]]或一条直线。在计算机图形学、运动规划和碰撞检测中，经常需要分析相交类型，以及计算出点坐标或线的方程。

==代数形式==
空间中一个平面可以表示为点 <math>\mathbf{p}</math> 的集合

:<math>(\mathbf{p}-\mathbf{p_0})\cdot\mathbf{n} = 0</math>

其中 <math>\mathbf{n}</math> 是该平面的[[法线]]，<math>\mathbf{p_0}</math>是平面上任意一点。（<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}</math>表示[[向量]] <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 的[[数量积]]）

而直线可表示为

:<math>\mathbf{p} = d\mathbf{l} + \mathbf{l_0} \quad    d\in\mathbb{R}</math>

其中 <math>\mathbf{l}</math>是该直线的方向向量，<math>\mathbf{l_0}</math>是直线上任意一点，<math>d</math>是[[实数]]范围内的标量。将直线方程代入平面方程得

:<math>(d \mathbf{l} + \mathbf{l_0} - \mathbf{p_0})\cdot\mathbf{n} = 0</math>

展开得

:<math>d \mathbf{l}\cdot\mathbf{n} + (\mathbf{l_0}-\mathbf{p_0})\cdot\mathbf{n} = 0</math>

解得 <math>d</math>

:<math>d = {(\mathbf{p_0}-\mathbf{l_0})\cdot\mathbf{n} \over \mathbf{l}\cdot\mathbf{n}}.</math>

若 <math>\mathbf{l}\cdot\mathbf{n} = 0</math>，则直线与平面平行。此时，如果(<math>\mathbf{p_0}-\mathbf{l_0})\cdot\mathbf{n} =0</math>，则该直线在平面内，即直线上所有的点都是交点。否则，直线与平面没有交点。

若 <math>\mathbf{l}\cdot\mathbf{n} \ne 0</math>，则直线与平面有且只有一个交点。解得 <math>d</math>，则交点的坐标为

:<math>d\mathbf{l} + \mathbf{l_0}</math>.

==参数形式==
[[Image:Line plane.svg|thumb|300px|right|直线与平面的交点]]
空间中一条直线可以用一个点和一个给定的方向来描述。则一条直线可以表示为如下点的集合

:<math>\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t, \quad t\in \mathbb{R}</math>

其中 <math>\mathbf{l}_a=(x_a, y_a, z_a)</math> 和 <math>\mathbf{l}_b=(x_b, y_b, z_b)</math> 是直线上两个不同的点。

相似地，一个平面可以表示为如下点的集合

:<math>\mathbf{p}_0 + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v, \quad u,v\in\mathbb{R}</math>

其中 <math>\mathbf{p}_k=(x_k,y_k,z_k)</math>，<math>k=0,1,2</math> 是平面上不共线的三个点。

直线和平面的交点可以表示为将直线上的点代入平面方程内，则参数方程如下：

:<math>\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t = \mathbf{p}_0 + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v</math>

即

:<math>\mathbf{l}_a - \mathbf{p}_0 =  (\mathbf{l}_a - \mathbf{l}_b)t + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v,</math>

用[[矩阵]]表示为

:<math> \begin{bmatrix} x_a - x_0 \\ y_a - y_0 \\ z_a - z_0 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x_a - x_b & x_1 - x_0 & x_2 - x_0 \\ y_a - y_b & y_1 - y_0 & y_2 - y_0 \\ z_a - z_b & z_1 - z_0 & z_2 - z_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} </math>

可得点的坐标为
:<math>\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t</math>

若直线与平面平行或在平面内，那么向量 <math>\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a</math>，<math>\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0</math> 及  <math>\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0</math>是[[线性无关|线性独立]]的，且矩阵为奇异矩阵。

若满足 <math>t \in [0,1]</math>，则交点在直线上 <math>\mathbf{l}_a</math> 与 <math>\mathbf{l}_b</math> 之间。

若满足
:<math>u,v \in [0,1], \;\;\; (u+v) \leq 1,</math>
则交点位于平面上 <math>\mathbf{p}_0</math>，<math>\mathbf{p}_1</math> 及 <math>\mathbf{p}_2</math>所构成的三角形中。

该问题可用矩阵的形式表示解答：
:<math> \begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_a - x_b & x_1 - x_0 & x_2 - x_0 \\ y_a - y_b & y_1 - y_0 & y_2 - y_0 \\ z_a - z_b & z_1 - z_0 & z_2 - z_0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} x_a - x_0 \\ y_a - y_0 \\ z_a - z_0 \end{bmatrix}.</math>

==应用==
在[[计算机图形学]]中的[[光线追踪]]算法中，一个面可以被表示为几个平面的集合。一个面的图像可以用光线与每个面的交点表达。在基于视觉的三维重建中（计算机视觉的一个子场），深度通常是由“三角测量法”测算的。

== 外部链接 ==
* [http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com] {{Wayback|url=http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html |date=20210428000731 }}

[[Category:计算物理学]]
[[Category:欧几里得几何]]