查看“︁线性组合”︁的源代码

{{unreferenced|time=2012-01-19T07:34:34+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
{{线性代数}}
'''線性組合'''（{{lang-en|Linear combination}}）是[[線性代數]]中具有如下形式的表达式。其中<math>v_i</math>为任意类型的项，<math>a_i</math>为标量。這些純量稱為線性組合的'''係數'''或權。

:<math>w=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n </math>

==定義==
<math>S</math>為一[[向量空間]]<math>V</math>（附於[[域 (數學)|體]]<math>F</math>）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於<math>S</math>，和對應的純量<math>a_1, a_2, \cdots, a_k</math>屬於<math>F</math>，使得<math>v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n</math>，則稱<math>v</math>是<math>S</math>的線性組合。

規定：<math>0</math>向量是空集合的線性組合。

==线性生成==
{{main|线性生成空间}}

''S'' 為[[体 (数学)|域]] ''F'' 上[[向量空間]] ''V'' 的子集合。

所有 ''S'' 的有限線性組合構成的集合，稱為 ''S'' 所生成的空間，記作 span(S)。

任何 ''S'' 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 ''V'' 的子空間（所以包含0向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span(S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span(S) 上）

== 线性无关 ==
{{main|线性无关}}
对于一个向量集 S =｛''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub>｝,
若向量空间中的单个向量可以写作两个不同的线性组合，
:<math>v = \sum a_i v_i = \sum b_i v_i\text{ where } (a_i) \neq (b_i).</math>
另一种表述方式是，如果将它们相减 (<math>c_i := a_i - b_i</math>) ，得到一个纯量不全等于零的线性组合，而它的值为零：
:<math>0 = \sum c_i v_i.</math>

那么''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub> 称为“[[线性无关|线性相关]]”；否则它们为线性无关。

若''S''是线性无关，而S的生成空间等于''V''，那么''S''是''V''的[[基 (線性代數)|基]]。

== 仿射组合，锥组合及凸组合 ==
{{link-en|仿射组合|Affine combination|仿射组合}}，{{link-en|锥组合|Conical combination|锥组合}}和[[凸组合]]对线性组合的系数有一定的限制。

{| class="wikitable" style="text-align:left;"
|-
! 组合的种类 !! 系数的限制 !! 集合名 !! 样板空间
|-
| 线性组合 || 无限制 || [[向量子空间]] || <math>\mathbf{R}^n</math>
|- 
| {{link-en|仿射组合|Affine combination|仿射组合}} || <math>\sum a_i = 1</math> || [[仿射空间|仿射子空间]] || 仿射[[超平面]]
|-
| {{link-en|锥组合|Conical combination|锥组合}} || <math>a_i \geq 0</math> || [[凸锥]] || [[象限]]或{{link-en|八分圆|Octagon (Plane geometry)|八分圆}}
|-
| [[凸组合]] || <math>a_i \geq 0</math> and <math>\sum a_i = 1</math> || [[凸集]] || [[单纯形]]
|}

因为这些组合的限制更加严格，所以在这些运算之下的闭合子集也更多。因此，仿射子集，凸锥，和凸集都是向量子空间的一般化形式。所有向量子空间都是仿射子空间，凸锥，也是凸集，但凸集不一定是向量子空间，仿射子空间，或凸锥。

这些概念的产生是由于对于一些特定的[[数学对象]]，人们可以采用某些线性组合，但并非任何线性组合：例如，[[概率分布]]在凸组合下是闭合的，并且它们形成一个凸集；但在锥组合，仿射组合，或线性组合下不是闭合的。正[[测度]]在锥组合下是闭合的，但在仿射或线性组合下不是。因此，我们将{{link-en|有符号测度|signed measure|带正负符号的测度}}定义为它的线性闭包。

线性和仿射组合可以在任何域或环上定义，但锥组合和凸组合需要“正数”的概念，因此只能在[[有序域]]或[[有序环]]上定义，最常见的例子是实数。

如果仅允许乘以标量而不允许相加，则我们得到一个（不一定是凸的）[[圆锥]]；通常来说，定义中只允许乘以正标量。

所有这些概念通常都定义为环境向量空间的子集，而不是独立地由公理定义。仿射空间除外，因为仿射空间也可以看作“没有原点的向量空间”。

==另见==
* [[凸组合]]
* {{link-en|仿射组合|affine combination|仿射组合}}：系数之和为1的线性组合

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:抽象代数]]
[[Category:线性代数]]