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{{Linear algebra}}
在[[数学]]分支[[线性代数]]之中，[[向量空间]]中一个向量[[集合 (数学)|集合]]的'''线性生成空间'''（{{lang|en|linear span}}，也称为'''线性包''' {{lang|en|linear hull}}），是所有包含这个集合的[[线性子空间]]的[[交集]]，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。

== 定义 ==

给定[[体 (数学)|域]] ''K'' 上的[[向量空间]] ''V''，[[集合 (数学)|集合]] ''S''（不必有限）的生成空间定义为所有包含 ''S'' 的线性子空间 ''V'' 的交集 ''W''，称 ''W'' 为由 ''S''（或 ''S'' 中的向量）生成的子空间。

如果 <math>S = \{v_1,...,v_r\}\,</math> 是 ''V'' 的[[有限集|有限]]子集，则生成空间为

:<math>{ \rm span } \left(S\right) = { \rm span } \left(v_1,...,v_r\right) = \left\{ {\lambda _1 v_1  +  \cdots  + \lambda _r v_r \mid \lambda _1 , \ldots ,\lambda _r  \in \mathbf{K}} \right\}.</math>

== 解释 ==

''S'' 的生成空间也可定义为 ''S'' 中元素的所有有限[[线性组合]]组成的集合。因为容易验证：''S'' 中向量的有限线性组合的集合是包含 ''S'' 的一个向量空间，反之任何包含 ''S'' 的向量空间必然都包含 ''S'' 中向量的有限组合，故两个定义是等价的。

如果 ''S'' 的生成空间是 ''V''，则 ''S'' 称为 ''V'' 的'''生成集合'''（{{lang|en|spanning set}}）。''V'' 的一个生成集合不必是 ''V'' 的一组[[基 (线性代数)|基]]，因其不必是[[线性无关]]的。但是，对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说，''V'' 的生成集合是一组基[[当且仅当]] ''V'' 的任何向量可以唯一的写成生成集合中一些元素的线性组合。

如果 ''V'' 是无限维向量空间，''S'' 是无穷集合，则 ''S'' 中的无限个向量的线性组合（如果收敛的话）不一定属于 ''S'' 的生成空间。

== 例子 ==

* [[实数|实]]向量空间 '''R'''<sup>3</sup> 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一个生成集合，这个生成集合事实上是一组[[基 (線性代數)|基]]。这个空间的另一组生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一组基，因为它们不是线性獨立的。

* 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 '''R'''<sup>3</sup> 的生成集合；它的生成空间是 '''R'''<sup>3</sup> 中最后一个分量为零的向量组成的空间。

* 设 ''V''={ (x,y,z) ∈'''R'''<sup>3</sup> |''x''+''y''-''z''=0 }，则 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 ''V'' 的一个生成集合，也是一组基。

== 定理 ==

'''定理 1'''：向量空间 ''V'' 的非空集合 ''S'' 生成的子空间是 ''S'' 中向量的所有有限线性组合；

:如[[#注释|注释]]中所说，这个定理如此熟知，以至有时也作为一个集合的生成空间的定义。

'''定理 2'''：设 ''V'' 是一个有限维向量空间，则 ''V'' 的任何生成集合 ''S'' 去掉一些向量（如果必要的话）可以简化为 ''V'' 的一组基。

:取 ''V'' 任意一组基（有限集），将这组基表示为 ''S'' 中一些向量的有限组合，只用到 ''S'' 中有限个向量，这有限个向量的生成集合包含这组基，从而包含 ''V''，故第一步可将 ''S'' 简化为有限集；如果 ''S'' 中向量不是线性无关的，则至少有一个向量能写成其他向量的组合，去掉这个向量剩下的也能生成 ''V''。继续这个步骤直到剩下的向量集合线性无关，这便简化为一组基了。

:这也说明当 ''V'' 是有限维时，一组基是极小生成集合。

== 性质 ==
* 假设 <math>v_1, \ldots, v_n</math> 是向量空间 ''V'' 中 ''n'' 个向量，那么
:<math> {\rm span}(v_1, \ldots, v_{n-1}) = {\rm span} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_n \in {\rm span}(v_1, \ldots, v_{n-1}). </math>
* ''n'' 个向量生成空间的维数不大于 ''n''，等于 ''n'' 当且仅当这些向量线性无关。 
* 假设 <math>S</math> 与 <math>S'</math> 是向量空间 <math>V</math> 中两个集合，则有：
** <math>S\subset S'\Rightarrow {\rm span}(S)\subset {\rm span}(S') ;</math>
** <math>{\rm span}(S\cup S')={\rm span}(S)+{\rm span}(S') .</math>
== 线性生成空间与直和 ==
设<math>U</math>与<math>V</math>是[[线性空间]]<math>W</math>的两个线性包，线性包<math>\left\langle U \cup V \right\rangle</math>称为<math>U</math>与<math>V</math>的'''和''',
<math>U+V= \left\langle U \cup V \right\rangle = \left\{ u+v | u \in U , v \in V \right\}</math>,如果<math>U \cap V = 0</math>，则称<math>U+V</math>为[[直和]]，记为<math>U \oplus   V</math>
== 参考文献 ==

* {{springer|author=M.I. Voitsekhovskii|title=Linear hull|id=L/l059260}}
* 蓝以中，《高等代数简明教程》（上册），北京大学出版社，2002年8月。
* 《代数学引论（第二卷）》/（俄）A.H.柯斯特利金著；牛凤文译.-北京：高等教育出版社，2008.1 ISBN：978-7-040-21491-8
{{线性代数的相关概念}}
[[Category:抽象代数|X]]
[[Category:线性代数|X]]

[[pl:Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa]]
[[ru:Векторное пространство#Линейная оболочка]]