查看“︁线性子空间”︁的源代码

'''线性子空间'''（或'''向量子空间'''）在[[线性代数]]和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他[[子空间]]的时候通常简称为“子空间”。

== 定义==

在[[线性代数]]和其他数学相关领域，一个'''线性子空间'''（或'''向量子空间'''）U是给定域<math>\mathfrak{R}</math>[[向量空间]]V的一个[[子集]]，并且它还是V的加法[[子群]]，同时，在[[纯量]]乘下回到自身，那么，V上运算在U上的限制导出U的[[向量空间]]结构，我们把U称为V上的'''向量'''（或'''线性'''）'''子空间'''。
==定理==
设 ''V'' 是在域 ''K'' 上的向量空间，并设 ''W'' 是 ''V'' 的子集。则[[当且仅当]]它满足下列三个条件时，''W'' 是个[[子空间]]:
#零向量 0 在 ''W'' 中。
#如果 '''u''' 和 '''v''' 是 ''W'' 的元素，则向量和 '''u'''&nbsp;+&nbsp;'''v''' 是 ''W'' 的元素。
#如果 '''u''' 是 ''W'' 的元素而 ''c'' 是来自 ''K'' 的标量，则标量积 ''c'''''u''' 是 ''W'' 的元素。

==性质 ==

*对于所有向量空间 ''V''，集合 {'''0'''} 和 ''V'' 自身是 ''V'' 的子空间。
*如果 ''V'' 是[[内积空间]]，则任何 ''V'' 的子空间的[[正交补]]也是子空间。
*任意多个向量子空间的交集仍然是向量子空间。''注意：两个子空间的并集未必是子空间。例如<math>e_1,e_2</math>是''V''中任意两个线性无关的向量且<math>U_1=<e_1>,U_2=<e_2></math>，那么，<math>U_1</math>∪<math>U_2</math>不包含<math>e_1+e_2</math>。''
*特征化子空间的一种方式它们闭合在[[线性组合]]下。就是说，''W'' 是子空间，[[当且仅当]]所有 ''W'' 的([[有限集合|有限]]多个)元素的线性组合也属于 ''W''。子空间的定理中条件 2 和 3 是最基本的线性组合。

== 例子 ==

'''例子 I:'''
设域 ''K'' 是[[实数]]的集合 '''R'''，并设向量空间 ''V'' 是[[欧几里得空间]] '''R'''<sup>''3''</sup>。
取 ''W'' 为最后的分量是 0 的 ''V'' 中所有向量的集合。则 ''W'' 是 ''V'' 的子空间。

''证明:''
#给定 ''W'' 中 '''u''' 和 '''v'''，它们可以表达为 '''u'''&nbsp;= (''u''<sub>1</sub>,''u''<sub>2</sub>,0) 和 '''v'''&nbsp;= (''v''<sub>1</sub>,''v''<sub>2</sub>,0)。则 '''u'''&nbsp;+&nbsp;'''v'''&nbsp;= (''u''<sub>1</sub>+''v''<sub>1</sub>,''u''<sub>2</sub>+''v''<sub>2</sub>,0+0)&nbsp;= (''u''<sub>1</sub>+''v''<sub>1</sub>,''u''<sub>2</sub>+''v''<sub>2</sub>,0)。因此 '''u'''&nbsp;+&nbsp;'''v''' 也是 ''W'' 的元素。
#给定 ''W'' 中 '''u''' 和 '''R''' 中标量 ''c''，如果 '''u'''&nbsp;= (''u''<sub>1</sub>,''u''<sub>2</sub>,0)，则 ''c'''''u'''&nbsp;= (''cu''<sub>1</sub>, ''cu''<sub>2</sub>, ''c''0)&nbsp;= (''cu''<sub>1</sub>,''cu''<sub>2</sub>,0)。因此 ''c'''''u''' 也 是 ''W'' 的元素。

'''例子 II:'''
设域是 '''R'''，设向量空间是[[欧几里得几何]] '''R'''<sup>2</sup>。取 ''W'' 为 '''R'''<sup>2</sup> 的使得 ''x''&nbsp;=&nbsp;''y'' 的所有点 (''x'',''y'') 的集合。则 ''W'' 是 '''R'''<sup>2</sup> 的子空间。

''证明:''
#设 '''p'''&nbsp;= (''p''<sub>1</sub>,''p''<sub>2</sub>) 且 '''q'''&nbsp;= (''q''<sub>1</sub>,''q''<sub>2</sub>) 是 ''W'' 的元素，就是说，在平面上的点使得 ''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub> 且 ''q''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''q''<sub>2</sub>。则 '''p'''&nbsp;+&nbsp;'''q'''&nbsp;= (''p''<sub>1</sub>+''q''<sub>1</sub>,''p''<sub>2</sub>+''q''<sub>2</sub>)；因为 ''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub> 且 ''q''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''q''<sub>2</sub>，则 ''p''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''q''<sub>1</sub>&nbsp;= ''p''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;''q''<sub>2</sub>，所以 '''p'''&nbsp;+&nbsp;'''q''' 是 ''W'' 的元素。
#设 '''p'''&nbsp;=&nbsp;(''p''<sub>1</sub>,''p''<sub>2</sub>) 是 ''W'' 的元素，就是在平面中点使得 ''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub>，并设 ''c'' 是 '''R''' 中的标量。则 ''c'''''p'''&nbsp;= (''cp''<sub>1</sub>,''cp''<sub>2</sub>)；因为 ''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub>，则 ''cp''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''cp''<sub>2</sub>，所以 ''c'''''p''' 是 ''W'' 的元素。

一般的说，欧几里得空间 '''R'''<sup>''n''</sup> 的定义自齐次[[线性方程]]的任何子集都生成子空间。在几何上说，这些子空间是穿过点'''0'''的一些点、直线、平面。


== 子空间上的运算 ==
给定向量空间''V''的子空间 ''U'' 和 ''W''，则它们的[[交集]] ''U''&nbsp;&cap;&nbsp;''W''&nbsp;:= {'''v'''&isin;''V'': '''v''' &isin; ''U'' 且 '''v''' &isin; ''W''} 也是 ''V'' 的子空间。

''证明:''
#设 '''v''' 和 '''w''' 是 ''U''&nbsp;&cap;&nbsp;''W'' 的元素。则 '''v''' 和 '''w''' 属于 ''U'' 和 ''W'' 二者。因为 ''U'' 是子空间，则 '''v'''&nbsp;+&nbsp;'''w''' 属于 ''U''。类似的，因为 ''W'' 是子空间，则 '''v'''&nbsp;+&nbsp;'''w''' 属于 ''W''。所以 '''v'''&nbsp;+&nbsp;'''w''' 属于 ''U''&nbsp;&cap;&nbsp;''W''。
#设 '''v''' 属于 ''U''&nbsp;&cap;&nbsp;''W''，并设 ''c'' 是标量。则 '''v''' 属于 ''U'' 和 ''W'' 二者。因为 ''U'' 和 ''W'' 是子空间，''c'''''v''' 属于 ''U'' 和 ''W'' 二者。

进一步的，和
:<math> U+W = \{ \mathbf{u} + \mathbf{w} : \mathbf{u} \in U \mbox{ and } \mathbf{w} \in W \} </math>
是一个 ''V'' 的子空间。''U'' &cap; ''W'' 和 ''U'' + ''W'' 的维度满足
:<math> \dim (U\cap W) + \dim (U+W) = \dim U + \dim W </math>。

==外部链接==
* [https://web.archive.org/web/20070823031342/http://video.google.com/videoplay?docid=-584643457858917136 MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* {{planetmath reference|id=624|title=Vector subspace|urlname=vectorsubspace}}

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:线性代数|X]]