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'''线性代数基本定理'''是[[秩_(线性代数)|秩]]为 ''r'' 的 ''m''&times;''n'' [[矩阵]]''A''的[[奇异值分解]]:

:<math>A=U\Sigma V^T\ </math>

对于矩阵<math>A \in \mathbf{R}^{m \times n}</math> (<math> A </math>有<math>m</math>行及<math>n</math>列)产生了四个''基本[[线性子空间]]'':

<table class="wikitable">

<tr>
<th>子空间名字
<th>定义
<th>包含于
<th>[[向量空间的维数|维数]]
<th>[[基 (线性代数)|基]]

<tr>
<td>[[行空间与列空间#列空间定义|列空间]]、[[值域]]或[[像 (数学)|像]]
<td><math>\mathrm{im}(A)</math> 或 <math>\mathrm{range} (A)</math>
<td><math>\mathbf{R}^m</math>
<td><math>r</math>
<td><math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列

<tr>
<td>[[零空间#左零空间|左零空间]]或[[上核]]
<td><math>\mathrm{ker}(A^T)</math> 或 <math>\mathrm{null} (A^T)</math>
<td><math>\mathbf{R}^m</math>
<td><math>m - r</math>
<td><math>\mathbf{U}</math> 的后 <math>m - r</math> 列

<tr>
<td>[[行空间与列空间#行空间定义|行空间]]或[[余象]]
<td><math>\mathrm{im}(A^T)</math> 或 <math>\mathrm{range} (A^T)</math>
<td><math>\mathbf{R}^n</math>
<td><math>r</math>
<td><math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列

<tr>
<td>[[零空间]]或[[核 (线性算子)|核]]
<td><math>\mathrm{ker}(A)</math> 或 <math>\mathrm{null} (A)</math>
<td><math>\mathbf{R}^n</math>
<td><math>n - r</math>
<td><math>\mathbf{V}</math> 的后 <math>n - r</math> 列

</table>

Secondly:

# In <math>\mathbf{R}^n</math>, <math>\mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp</math>, 也就是, 零空间与行空间的[[正交补]]相同.
# In <math>\mathbf{R}^m</math>, <math>\mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp</math>, 也就是, 左零空间为列空间的正交补.
[[Image:The four subspaces.svg|center|600px|thumb|矩阵''A''的四个基本子空间.]]

子空间的维数遵从[[秩-零化度定理]].

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, [[对偶空间]]<math>A\colon V \to W</math> 与<math>A^* \colon W^* \to V^*</math>: <math>A^*</math>的核与像是<math>A</math>的上核与余象.

==参见==
* [[秩－零化度定理]]
* [[闭值域定理]]

==参考文献==
* Strang, Gilbert. ''Linear Algebra and Its Applications''. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
*{{Citation
 | title = The fundamental theorem of linear algebra
 | url = http://www.eng.iastate.edu/~julied/classes/CE570/Notes/strangpaper.pdf <!-- if that goes dead try one of these:
http://ocw.nctu.edu.tw/upload/fourier/supplement/fund%20linear%20algebra.pdf
http://www.dm.unibo.it/~regonati/ad0708/strang-FTLA.pdf
-->
 | year = 1993
 | author = Strang, Gilbert
 | journal = American Mathematical Monthly
 | volume = 100
 | issue = 9
 | pages = 848–855
 | doi = 10.2307/2324660
 | jstor = 2324660
 }}{{Dead link}}

==外部链接==
*{{aut|[[Gilbert Strang]]}}, [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-10-the-four-fundamental-subspaces/ MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] {{Wayback|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-10-the-four-fundamental-subspaces/ |date=20170727084813 }}, from [[MIT OpenCourseWare]]

{{基本定理}}

[[Category:线性代数定理]]