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[[数学]]中，'''线丛'''（line bundle）表达了空间中在点之间变化的[[直线]]的概念。例如，平面中的[[曲线]]在每一点都有一条[[切线]]，这就确定了一条变化的直线：[[切丛]]是组织它们的一种方式。[[代数拓扑]]和[[微分拓扑]]中，线丛更正式的定义是秩为1的[[向量丛]]。<ref>{{cite book|author=Hartshorne |title=Algebraic Geometry, Arcata 1974|year=1975|url={{Google books|plainurl=y|id=eICMfNiDdigC|page=7|text=line bundle}}|page=7}}</ref>

为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛。在拓扑学的应用中，这个向量空间通常是实或复的，而由于实向量空间与复向量空间的拓扑性质不同，两种选择将表现出根本上不同的行为：剔去实数线上的原点，就得到可逆1阶实方阵的集合。将正负实数分别收缩为一点，便可见它[[同伦]]等价于[[离散两点空间]]；而剔去复平面上的原点，就得到可逆1阶复矩阵的集合，与圆同伦等价。

因此从[[同伦论]]的角度看，实线丛的行为与具有两点纤维（two-point fiber）的[[纤维丛]]（即[[覆叠空间|双覆盖]]）基本相同。[[微分流形]]的有向双覆盖是特例，对应的线丛是切丛的行列式丛（下详）。[[莫比乌斯带]]对应圆的双覆盖（θ → 2θ映射），改变纤维也可将其视作具有两点纤维、作为纤维的[[单位区间]]或实数线。
复线丛与[[圆丛]]密切相关。有些著名的复线丛，如[[球面]]到球面的[[霍普夫纤维化]]。

[[代数几何]]中，[[可逆层]]（即秩为1的局部自由层）常称作'''线丛'''。

线丛由满足以下条件的除子产生：

(I) ''X''是既约不可约概形，则每个线丛都来自一个除子

(II) ''X''是射影概形，则同样成立

==射影空间上的重言线丛==
{{Main|重言丛}}
代数几何中最重要的线丛之一是[[射影空间]]上的重言线丛。域''k''上向量空间''V''的射影化<math>\boldsymbol P(V)</math>定义为对乘法群<math>k^{\times}</math>作用的商<math>V \setminus \{0\}</math>，因此<math>\boldsymbol P(V)</math>的每一点都对应一份<math>k^{\times}</math>，可以构成<math>\boldsymbol P(V)</math>上的<math>k^{\times}</math>-丛。<math>k^{\times}</math>与''k''只差一个点，将该点与每条纤维邻接（adjoin），就得到了<math>\boldsymbol P(V)</math>上的线丛，称作'''重言线丛'''（tautological line bundle），有时记作<math>\mathcal{O}(-1)</math>，因为它对应于塞雷扭转层<math>\mathcal{O}(1)</math>的对偶。

===映射到射影空间===
设''X''是空间，''L''是''X''上的线丛。''L''的'''全局截面'''是函数<math>s:\ X\to L</math>，使得若<math>p:\ L\to X</math>是自然射影，则<math>ps={\rm id}_X</math>。在''X''中''L''为平凡的小邻域''U''内，线丛的总空间是''U''与底域''k''的积，截面''s''限制到函数<math>U\to k</math>。而''s''的值取决于平凡化的选择，因此它们只取决于无处为0函数的乘法。
全局截面以如下方式确定到射影空间的映射：在''L''的某纤维中择<math>r+1</math>个不全为0的点，就能选择出<math>\boldsymbol P^r</math>上重言线丛的纤维，因此选择''L''的<math>r+1</math>个不同时为0的全局截面，就确定了''X''到射影空间<math>\boldsymbol P^r</math>的映射。这个映射将''L''的纤维发送到重言丛的对偶的纤维。更具体地说，假设''L''的全局截面是<math>s_0,\ \dots,\ s_r</math>，则在''X''的小邻域''U''内，这些截面确定了''U''上的''k''值函数，具体取值取决于平凡化的选择。不过，它们取决于同非零函数的同时乘法，因此其比是良定义的。也就是说，点''x''上的值<math>s_0(x),\ \dots,\ s_r(x)</math>不是良定义的，因为平凡化的改变会使它们各自乘一个非零常数λ；而只要截面<math>s_0,\ \dots,\ s_r</math>不在''x''同时取0，就会使它们乘以同一个常数，于是[[齐次坐标]]>math>s_0(x):\ \dots\ :s_r(x)]</math>良定义。因此，若截面不同时为0，则它们确定的形式<math>[s_0:\ \dots\ :s_r]</math>就给出''X''到<math>\boldsymbol P^r</math>的映射，映射下重言丛的对偶的拉回是''L''。这样，射影空间就获得了一个[[泛性质]]。

确定到射影空间的映射，通用方法是映射到''L''所有截面的向量空间的射影化。拓扑情形中，每点都有不为0的截面，可用在小邻域之外为0的冲击函数（bump function）构造，这样得到的映射是处处定义的。然而到达域通常太大，没什么用。代数和全纯集情形则恰好相反：全局截面的空间通常是有限维的，但点上可能不存在任何非零全局截面（如此例中构造了一个[[莱夫谢茨铅笔]]）。事实上，丛有可能完全没有非零全局截面，如重言线丛。线丛足够丰沛时，这构造就验证了[[小平嵌入定理]]。

==行列式丛==
{{See also|奎伦度量#算子族的行列式丛}}
一般来说，若''V''是空间''X''上的向量丛、纤维维数恒为''n''，则''V''的''n''次纤维-纤维[[外代数|外幂]]是线丛，称作'''行列式线丛'''（determinant line bundle）。这种构造尤其适用于[[光滑流形]]的[[余切丛]]，得到的行列式丛是[[张量密度]]现象的根源，因为对有向流形，其有非零的全局截面，且张量幂的任意实指数都可定义，并通过[[张量积]]“扭曲”任意向量丛。

同样的构造（取顶级外幂）适用于诺特域上的[[有限生成模|有限生成]][[射影模]]''M''，由此得到的可逆模称作''M''的'''行列式模'''。

==示性类、万有丛与分类空间==
第一[[施蒂费尔–惠特尼类]]分类了光滑实线丛。特别地，实线丛的（等价类的）集合对应于第一上同调的系数为<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>的元素。这种对应关系实际上是阿贝尔群同构（群运算是线丛的张量积与上同调上的普通加法）。类似，第一[[陈类]]分类了空间上的光滑复线丛，线丛群同构于系数为整数的第二上同调类。然而，丛可以有等价的[[光滑结构]]（于是有相同的第一陈类），而具有不同的全纯结构。利用流形上[[层 (数学)|层]]的[[指数层序列|指数序列]]，可以很容易地证明陈类的陈述。

可以从同伦论角度更普遍地看待分类问题。实线丛和复线丛都有万有丛（universal bundle），根据[[分类空间]]的一般理论，启发式方法是寻找[[可收缩空间]]，其上各自的群<math>C_2</math>、<math>S^1</math>的[[群作用]]是自由作用。这些空间可作为万有[[主丛]]，作用的商则可作为分类空间''BG''。这些情形下，可在实、复[[射影空间]]的无限维类似空间中明确地找到这些空间。
因此，分类空间<math>BC_2</math>属于<math>\boldsymbol{RP}^{\infty}</math>的同伦类，<math>\boldsymbol{RP}^{\infty}</math>是由[[齐次坐标]]的无限序列给出的实射影空间，携带着万有实线丛；从同伦论角度看，这意味着[[CW复形]]''X''上的任何实线丛''L''都确定了''X''到<math>\boldsymbol{RP}^{\infty}</math>的分类映射，使''L''同构于万有丛的拉回。这一分类映射可用于从<math>\boldsymbol{RP}^{\infty}</math>上的标准类定义''X''的系数属于<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>的第一上同调中''L''的[[施蒂费尔–惠特尼类]]。

类似地，复射影空间<math>\boldsymbol{CP}^{\infty}</math>携带有万有复线丛。这时，分类映射会在<math>H^2(X)</math>（积分上同调）中产生''X''的第一[[陈类]]。

还有一种与[[四元数]]线丛（实维度4）类似的理论，产生了实4维上同调中的[[庞特里亚金类]]中的一个。

这样，[[示性类]]理论的基本情形就只取决于线丛了。据一般的[[分裂原则]]，这可以确定理论的其余部分（即便不显式）。

[[复流形]]上的[[全纯线丛]]理论和[[代数几何]]中的[[可逆层]]理论中都有线丛出现。

==另见==
* [[I-丛]]
* [[丰沛线丛]]
* [[线场]]

==注释==
{{Reflist}}

==参考文献==
* Michael Murray, [http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/line_bundles.pdf Line Bundles] {{Wayback|url=http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/line_bundles.pdf |date=20090914130717 }}, 2002 (PDF web link)
* [[Robin Hartshorne]]. ''[https://books.google.com/books?id=4pieAwAAQBAJ&q=%22Line+bundle%22 Algebraic geometry] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=4pieAwAAQBAJ&q=%22Line+bundle%22 |date=20240702073911 }}''. AMS Bookstore, 1975. {{ISBN|978-0-8218-1429-1}}

{{DEFAULTSORT:Line Bundle}}
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同伦论]]
[[Category:向量丛]]