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{{noteTA
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在[[表示论]]这个[[数学]]领域中，[[特殊正交群]]的[[旋量表示]]中，'''纯旋量'''（{{lang|en|pure spinor}} 或'''单旋量''' {{lang|en|simple spinor}}）是能被[[克利福德代数]]的最大可能[[線性子空間|子空间]]零化的[[旋量]]。它们在1930年代被[[埃利·嘉当]]为了分类[[复结构|-{zh-hans:复;zh-hant:複}-结构]]而引进。纯旋量被引入理论物理，1960年代在[[罗杰·彭罗斯]]的推动下在[[旋量丛|自旋几何]]的研究中变得愈发重要起来；它们在彭罗斯的[[扭量理论]]的研究中成为基本对象。

==定义==
考虑一个[[复数 (数学)|-{zh-hans:复;zh-hant:複}-]][[向量空间]] '''C'''<sup>2''n''</sup> 具有偶{{le|複維數|complex dimension|-{zh-hans:复;zh-hant:複}-维数}} ''2n'' 与一个[[二次形式]] ''Q''，将向量 ''v'' 映为复数 ''Q(v)''。[[克利福德代数]] '''Cliff'''<sub>2n</sub> 是由 '''C'''<sup>2''n''</sup> 中向量的乘积满足关系

:<math>v^2=Q(v)</math>

生成的环。

[[旋量]]是克利福德代数上的[[模]]，特别地 '''C'''<sup>2n</sup> 在旋量空间上有一个作用。零化一个给定旋量 ψ 的 '''C'''<sup>2''n''</sup> 的子集是其一个-{zh-hans:复;zh-hant:複}-子空间 '''C'''<sup>m</sup>。如果 ψ 不等于零则 ''m'' 小于或等于 ''n''；如果 ''m'' 等于 ''n'' 则 ψ 称为一个'''纯旋量'''。

==纯旋量集合==
任何纯旋量被 '''C'''<sup>2n</sup> 的一个半维数子空间零化。反之给定一个半维数子空间在差一个-{zh-hans:复;zh-hant:複}-常数相乘的意义下也可以确定其零化的纯旋量。纯旋量在差一个复数相乘的意义下定义为'''射影纯旋量'''。射影纯旋量空间是[[齐性空间]]
:SO(''2n'')/U(''n'')。

不是所有旋量都是纯的。一般地，纯旋量可以通过称为纯旋量[[约束]]的一系列[[二次方程]]从非纯旋量中分离出来。不过，实维数不大于 6 的旋量都是纯的；在 8 维，在射影的意义下只有一个纯旋量约束；在 10 维，与[[超弦理论]]相关的情形，有 10 个约束

:<math>\psi\Gamma^{\mu}\psi = 0\ .</math>

这里 Γ<sup>μ</sup> 是[[伽玛矩阵]]，代表生成克利福德代数的向量 '''C'''<sup>2n</sup>。一般地有

:<math> {2n \choose n - 4} </math>
个约束。

==弦理论中的纯旋量==
最近纯旋量在[[弦理论]]中受到关注。2000年，[[巴西]][[圣保罗]] [http://www.ift.unesp.br/  Fisica Teorica 研究所] {{Wayback|url=http://www.ift.unesp.br/ |date=20210504025400 }}教授 Nathan Berkovits 在论文《[http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0001035 弦的超庞加莱共变量子化]》中引入纯旋量形式化。这个形式化是目前所知惟一关于[[时空]]与[[世界面]][[超对称]]同时共变的[[弦 (物理學)|弦]]的量子化。2002年，[[奈杰尔·希钦]]在《[http://xxx.lanl.gov/abs/math.DG/0209099 广义卡拉比-丘流形]》一文中提出[[广义卡拉比-丘流形]]，其中[[广义复结构|广义-{zh-hans:复;zh-hant:複}-结构]]用一个纯旋量定义。这些空间描述了弦理论中[[紧化 (物理)|通量紧化]]的几何。

==参考文献==
* Cartan, Élie.  ''Lecons sur la Theorie des Spineurs,'' Paris, Hermann (1937).
* Chevalley, Claude. ''The algebraic theory of spinors and Clifford Algebras.  Collected Works''.  Springer Verlag (1996).
* Charlton, Philip. [http://csusap.csu.edu.au/~pcharlto/charlton_thesis.pdf The geometry of pure spinors, with applications] {{Wayback|url=http://csusap.csu.edu.au/~pcharlto/charlton_thesis.pdf |date=20060903191426 }}, PhD thesis (1997).
* [http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme2.py?arxiv=hep-th&level=2&index1=5751497  Pure spinor on arxiv.org]

[[Category:旋量]]