查看“︁级数”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{More footnotes|time=2018-05-08}}
{{about|一个序列的总和|用序列表述的一串数字|数列}}
{{无穷级数}}

'''级数'''（{{lang-en|Series}}）代表某[[序列]]之和，例如[[序列]]<math>a_1,\,a_2,\, a_3,\,a_4,\,\ldots</math>的級數<math>S_n</math>可以表示成<math>S_n = a_1 + \ldots + a_n</math>，如果被取和的序列是有穷序列，相對應的級數被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括[[等差数列]]和[[等比数列]]的级数。

級數本身也是一種[[序列]]（代表加到第<math>n</math>項）。就跟普通[[序列]]一樣，级数的通项可以是[[实数]]、[[矩阵]]或[[向量]]等常量，也可以是关于其他变量的[[函数]]，不一定是一个[[数]]，但某序列要能定義相應級數，'''前提是必須要有加法'''（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。

如果某级数來自於對常數[[序列]]取和，则称之为常数（项）级数，如果來自於函数序列，则称之为函数（项）级数。

无穷级数不像有穷级数可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於[[无穷大]]來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數<math>S_n</math>取[[极限 (数学)|极限]]<math>\lim_{n\to\infty} S_n</math>。如果這個極限存在，會仿造[[数列极限]]，將這個无穷级数稱為'''收斂的'''（{{Lang|en|convergent}}）；反之稱為'''發散的'''（{{Lang|en|divergent}}）。（而且要能定義極限還需要[[度量空间|距離]]來比較遠近）

== 正式定義 ==
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(A,\,\circ)</math> 是個[[群|交換群]]，對於定義在 <math>A</math> 上的[[序列]] <math>{\{a_i \in A\}}_{i \in \N}</math> ，存在唯一的序列 <math>{\{s_n \in A\}}_{n \in \N}</math>滿足：
:(1) <math>s_1 = a_1</math>
:(2) 對所有正整數 <math>n \in \N</math>， <math>s_{n + 1} = s_n \circ a_{n + 1}</math>

這個唯一存在的序列被稱為 <math>{\{a_i \in A\}}_{i \in \N}</math> 的'''級數'''（{{Lang|en|series}}）。
}}

也就是說，只要 <math>A</math> 上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在 <math>A</math> 的序列<math>{\{a_i \in A\}}_{i \in \N}</math>都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列<math>{\{s_n \in A\}}_{n \in \N}</math>。也就是說，一般會將 <math>\circ</math> 視為加法「<math>+</math>」  ，而將<math>s_n</math>更加直觀的記為：
:<math>s_n = a_1 + \ldots + a_n</math>

然後把<math>s_n</math>直觀地稱為'''部分和'''。

通常會做以下的符號定義：
:<math>\sum^{n}_{j = 1} a_j := s_n</math>

而將　<math>{\{s_n \in A\}}_{n \in \N}</math>　記為　<math>{\left\{\sum^{n}_{j = 1} a_j \right\}}_{n \in \N}</math>甚至是更直觀的 <math>\sum^{n}_{j = 1} a_j </math>

=== 有窮級數 ===
以上定義的級數，在直觀上被理解成「'''無窮級數'''」（{{Lang|en|infinite series}}）；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數 <math>m \in \N</math> 開始，只要正整數 <math>i \geq m</math> 就有 <math>a_i = 0_A</math> （<math>(A,\,\circ)</math>的單位元，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「'''有窮級數'''」（{{Lang|en|finite series}}），事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項 <math>m \in \N</math> 開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 <math>\sum^{m}_{j = 1} a_j</math>。

== 无穷级数的敛散性 ==
对于级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>，如果当<math>n</math>趋于正无穷大时，<math>s_n</math>趋向一个有限的[[极限_(数列)|极限]]：<math>s=\lim_{n\to\infty}s_n</math>，那么这个无穷级数就叫做是'''收敛'''的，<math>s</math>叫做级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是'''发散'''的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和''<math>s</math>''。这时可以定义级数<math>\sum u_n</math>的'''余项和'''：<math>R_n=S-S_n</math>。

===任意项级数===
如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>中的各项可以是正数，负数或零，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>称为[[任意项级数]]。
将'''任意项级数'''各项<math>u_n</math>取绝对值，得到[[正项级数]]。
<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|=|u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots+|u_n|+\cdots</math>

===条件收敛===
:如果'''任意项级数'''<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛，而'''级数'''<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>发散，则称'''级数'''<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>[[条件收敛]]。
===绝对收敛===
:如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>收敛，则称级数[[绝对收敛]]
定理：如果任意项级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>的各项的绝对值所组成的正项级数<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>收敛，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛。
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!证明：
|-
|
令
::::<math>a_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n),b_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)</math>
::于是，有
::::<math>0\le a_n\le|u_n|,0\le b_n\le|u_n|</math>

::因为<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>,<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>均为正项级数，且<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>收敛，由'''[[比较审敛法]]'''知，级数<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>和<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>收敛。
:::又因为<math>\sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)</math>,所以由级数的定义可得，级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛。
该定理表明，如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>绝对收敛，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>必收敛。
|}

==收敛级数的性质==
* 若一个无穷级数<math>\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n+ \cdots </math>收敛，其和为''<math>s</math>''，则如果每一项乘以一个常数<math>a</math>，得到的级数<math>\sum a u_n  : \ au_1+au_2+au_3+\cdots+au_n+\cdots</math>也收敛，且和等于''as''。

* 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：
:<math>\sum_{n=1}^\infty u_n = s</math>和 <math>\sum_{n=1}^\infty v_n = t</math>，则
:<math>\sum_{n=1}^\infty (u_n \pm v_n) =s \pm t</math>.

* 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：
:<math>s=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots</math>和 <math>s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots+u_n+\cdots</math>
这两个级数的敛散性是一样的。

* 当<math>n</math>趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：<math>\lim_{n\to\infty}u_n=0</math>

* 在一个[[完备空间]]中，也可以运用[[柯西判别法|柯西收敛]]的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数<math>\sum_{n=1}^ {+ \infty} u_n</math>收敛的充要条件是，对任意<math> \epsilon > 0 </math> ，总存在<math> N_ 0 > 0 </math>，使得任意的<math> n > m > N_ 0 </math>，<math>|s_n - s_m|=|\sum_{k=m+1}^n u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{n}| < \epsilon  </math>。

== 无穷级数的研究历史 ==
将一个[[函数]]展开成无穷级数的概念最早来自14世纪[[印度]]的[[马德哈瓦]]。他首先发展了[[幂级数]]的概念，对[[泰勒级数]]、[[麦克劳林级数]]、无穷级数的有理逼近以及无穷[[连分数]]做了研究。他发现了[[正弦]]、[[余弦]]、[[正切|正切函数]]等的[[泰勒级数|泰勒展开]]，还用幂级数计算了 '''[[圓周率|π]]''' 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，[[詹姆斯·格里高利]]也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的[[泰勒级数|麦克劳林展开]]式。1715年，[[布鲁克·泰勒]]提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时[[欧拉]]又发展了[[超几何级数]]和[[q-级数]]的理论。

=== 对审敛法的研究 ===
14世纪时，[[马德哈瓦]]已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在[[欧洲]]，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由[[高斯]]开始的。他于1812年发表了关于[[欧拉]]的超几何级数
:<math>1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots</math>
的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

[[柯西]]提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的[[柯西乘积|乘积]]不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。[[欧拉]]和[[高斯]]各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了[[复函数]]的幂级数展开。

1826年，[[阿贝尔]]在他的关于[[二项式级数]]
:<math>1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots</math>
的论文中更正了[[柯西]]的若干个结论，并给出了[[二项式级数]]的严格的求和方法，指出了[[连续|连续性]]在收敛问题中的重要性。

[[柯西]]提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的[[对数判别法]]，[[德·摩根]]的[[对数判别法]]（被 DuBois-Reymond和[[普林斯海姆]]证明对某些函数失效）
，以及[[約瑟·伯特蘭|贝特朗]]、[[斯托克斯]]、[[切比雪夫]]等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由[[恩斯特·库默尔]]开始，之后的[[艾森斯坦]]、[[维尔斯特拉斯]]、[[尤里斯·迪尼]]等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

=== 对一致连续性的研究 ===
1821年，柯西首先开始对[[一致连续|一致连续性]]的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被[[阿贝尔]]指出，但首先得出正确结论的是[[菲利普·路德维希·冯·赛德尔|西德尔]]和[[乔治·加布里埃·斯托克斯|斯托克斯]]。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

== 类别 ==
:更多級數請參見[[級數列表]]。

=== 几何级数 ===
{{main|幾何級數}}
'''几何级数'''（或'''等比级数'''）是指通项为[[等比数列]]的级数，比如：
:<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}=2</math>

一般来说，几何级数<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>收敛当且仅当<math>\left \vert z \right \vert < 1</math>。

=== 调和级数 ===
{{Main|调和级数}}

'''调和级数'''是指通项为<math>{1 \over n}</math>的级数：
:<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}</math>

它是发散的。

===<math>p</math>-级数 ===
''<math>p</math>''-级数是指通项为<math>\frac{1}{n^p}</math>的级数：

:<math>U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}</math>

对于实数值的''<math>p</math>''，当<math>p>1</math>时收敛，当<math>p\leq 1</math>时发散。这可以由'''积分比较审敛法'''得出。

函数<math>\zeta : p \mapsto U_p</math>是[[黎曼ζ函數]]在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼<math>\zeta</math>函數有著名的[[黎曼猜想]]。
特別地，當<math>p=1</math>時，<math>p</math>-級數即為[[調和級數]]。

=== 裂项级数 ===
:<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>

收敛当且仅当数列<math>b_n</math>收敛到某个极限<math>L</math>，并且这时级数的和是<math>b_1-L</math>。

=== 泰勒级数 ===
{{Main|泰勒级数}}

'''泰勒级数'''是关于一个[[光滑]]函数<math>f</math>在一点<math>a</math>附近取值的级数。泰勒函数由函数在点<math>a</math>的各阶导数值构成，具体形式为：
:<math>
\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}
</math>
这是一个[[幂级数]]。如果它在<math>a</math>附近收敛，那么就称函数<math>f</math>在点<math>a</math>上是解析的。

=== 交错级数 ===
具有以下形式的级数

:<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>

其中所有的<math>a_n</math>[[负数|非负]]，被称作[[交错级数]]。交错级数的收敛通常要借助[[莱布尼茨判别法]]。

=== 幂级数 ===
{{Main|幂级数}}
形同<math>\sum a_n (x- x_0)^n</math>的函数项无穷级数称为<math>x- x_0</math>的'''幂级数'''。它的收敛与否和系数<math>a_n</math>有关。

=== 傅里叶级数 ===
{{Main|傅里叶级数}}

任何[[周期函数]]都可以用[[正弦函数]]和[[余弦函数]]构成的无穷级数来表示，称为'''傅里叶级数'''。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在[[数论]]、[[组合数学]]、[[信号处理]]、[[概率论]]、[[统计学]]、[[密码学]]、[[声学]]、[[光学]]等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为<math>2 \pi</math>的周期函数<math>f(x)</math>可以表示为：
:<math>f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1, 2, 3, \ldots</math>
其中，<math>a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx</math>，<math>b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx</math>，特别的，<math>a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx</math>

== 常数项无穷级数审敛法 ==
{{main|审敛法}}

=== 正项级数 ===
若通项为实数的无穷级数<math>\sum u_n</math>每一项<math>u_n</math>都大于等于零，则称<math>\sum u_n</math>是一'''正项级数'''。

如果无穷级数 <math>\sum u_n</math> 是正项级数，则部分和<math>S_n</math>是一个[[单调]]递增数列。由数列极限的判别准则：单调[[有界]]数列必有极限。因此，倘若部分和数列''S<sub>n</sub>''有界，<math>\sum u_n</math>收敛，且<math>\lim_{n \to \infty}S_n =s</math> ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。
==== 比较判别法 ====
设<math>\sum u_n</math> 和 <math>\sum v_n</math>是正项级数。
:如果存在正实数<math>M</math>，使得从若干项开始，<math>u_n \le Mv_n</math>（也就是说<math>u_n = O_{\infty} (v_n)</math>），则
:* 当<math>\sum v_n</math> 收敛时，可推出 <math>\sum u_n</math> 也收敛。
:* 当<math>\sum u_n</math> 发散时，可推出 <math>\sum v_n</math> 也发散。

:如果<math>\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0</math>，则
:* 当<math>\sum v_n</math> 收敛时，可推出 <math>\sum u_n</math> 也收敛。
:* 当<math>\sum u_n</math> 发散时，可推出 <math>\sum v_n</math> 也发散。

:如果<math>\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1</math>或其它有限数，则<math>\sum v_n</math> 和<math>\sum u_n</math> 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：<math>\sum {1 \over n^2}</math>收敛，则级数：<math>\sum {|\sin n | \over n^2}</math>也收敛，因为对任意的<math>n</math>，<math>\sin n \le 1</math>。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：<math>U_p =\sum {1 \over n^p}</math>作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当<math>p \le 1</math>时，<math>U_p</math>发散，当<math>p > 1</math>时，<math>U_p</math>收敛。

==== 达朗贝尔判别法 ====
{{Main|达朗贝尔判别法{{!}}达朗贝尔审敛法}}

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：
:设<math>\sum u_n</math>是通项大于零的正项级数。并且<math>\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p</math>，则
:* 当<math>p < 1</math> 时，级数<math>\sum u_n</math>收敛。
:* 当<math>p > 1</math> 时，级数<math>\sum u_n</math>发散。
:* 当<math>p = 1</math> 时，级数<math>\sum u_n</math>可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为'''比值判别法'''或'''比值审敛法'''。

==== 柯西收敛准则 ====
{{Main|根值审敛法}}

:设 <math>\sum u_n</math> 是正项级数。并且<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p</math>，则
:* 当<math>p < 1</math>时，级数 <math>\sum u_n</math> 收敛。
:* 当<math>p > 1</math>时，级数 <math>\sum u_n</math> 发散。
:* 当<math>p = 1</math>时，级数 <math>\sum u_n</math> 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为'''根值判别法'''或'''根值审敛法''''。

=== 交错级数 ===
{{Main|交错级数判别法}}

具有以下形式的级数

:<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>

其中所有的<math>a_n</math>[[负数|非负]]，被称作[[交错级数]]。

==== 莱布尼茨判别法 ====
{{main|莱布尼茨判别法{{!}}莱布尼茨审敛法}}

在上述的级数<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>中，如果当<math>n</math>趋于无穷时, [[数列]]<math>a_n</math>的极限存在且等于 0，并且每个<math>a_n</math>小于<math>a_{n-1}</math>（即, 数列<math>a_n</math>是[[单调递减|单调递减的]]），那么级数收敛。

=== 任意项级数 ===

对于通项为任意实数的无穷级数<math>\sum u_n</math>，将级数<math>\sum |u_n|</math>称为它的绝对值级数。可以证明，如果<math>\sum |u_n|</math>收敛，那么 <math>\sum u_n</math>也收敛，这时称 <math>\sum u_n</math>'''[[绝对收敛]]'''。如果<math>\sum u_n</math>收敛，但是<math>\sum |u_n|</math>发散，则称<math>\sum u_n</math>'''[[条件收敛]]'''。比如说，级数<math>\sum {\sin n \over n^2}</math>绝对收敛，因为前面已经证明 <math>\sum {| \sin n | \over n^2}</math>收敛。而级数<math>\sum {(-1)^n \over n}</math>是条件收敛的。它自身收敛到<math>\ln {1 \over 2}</math>，但是它的绝对值级数<math>\sum {1 \over n}</math>是发散的。

[[黎曼级数定理]]说明，如果一个无穷级数<math>\sum u_n</math>条件收敛，那么对于任意的实数<math>x</math>，存在一个正[[整数]]到正整数的[[双射]]<math>\sigma</math>，使得级数<math>\sum u_{\sigma(n)}</math>收敛到 <math>x</math>。对于正负无穷大，上述双射也存在。

== 函数项级数 ==
设<math>(u_n (x))_{n \ge 0}</math>为定义在区间<math>\mathcal{I}</math>上的函数列，则表达式：<math>u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + \cdots</math>称为函数项级数，简记为<math>\sum u_n (x)</math>。对函数项级数的主要研究是：

# 确定对哪些<math>x</math>，<math>\sum u_n (x)</math>收敛。
# <math>\sum u_n (x)</math>收敛的话，其和是什么，有什么性质？

=== 收敛域 ===
对区间<math>\mathcal{I}</math>上的每个 <math>x_0</math>，级数 <math>\sum u_n (x_0)</math>是常数项级数。若
<math>\sum u_n (x_0)</math>收敛，则称<math>x_0</math>是<math>\sum u_n (x)</math>的一个'''收敛点'''，<math>\sum u_n (x)</math>全体收敛点的集合称为它的'''收敛域'''。若
<math>\sum u_n (x_0)</math>发散，则称<math>x_0</math>是<math>\sum u_n (x)</math>的一个'''发散点'''，<math>\sum u_n (x)</math>全体发散点的集合称为它的'''发散域'''。<math>\sum u_n (x)</math>在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为<math>\sum u_n (x)</math>的'''和函数'''，记为<math>S(x)</math>。按照定义，<math>S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0)</math>，其中<math>S_n(x_0) = u_1 (x_0) + u_2 (x_0) + \cdots + u_n (x_0)</math>为函数项级数在<math>x_0</math>点上的部分和。

=== 一致收敛 ===
{{main|一致收敛}}
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数<math>\sum u_n (x)</math>中的每一项<math>u_n (x)</math>在收敛域上都是[[连续函数]]时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：
:设<math>\displaystyle u_n (x) = x^n - x^{n+1}</math>，也就是说<math>\displaystyle u_0 (x) = 1 - x</math>，<math>\displaystyle u_1 (x) = x - x^2</math>等等，它们显然都是连续函数（甚至是[[光滑]]函数）。这时函数项级数在<math>x</math> 点上的部分和<math>S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^k - x^{k+1}) =1 - x^{n+1} </math>。在区间<math>[0, 1]</math>的每一点上，部分和都有极限：
::当<math> x \neq 1</math>时，<math>S_n(x) \rightarrow 1
</math>
::当<math>\displaystyle x = 1</math>时，<math>S_n(x) \rightarrow 0
</math>
:于是在区间<math>[0, 1]</math>上，级数<math>\sum u_n (x)</math> 收敛，其和函数<math>S(x)</math>为：
::当<math> 0 \le x < 1</math>时，<math>S(x) = 1</math>；<math>S(1) = 0</math>。
:这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的'''[[一致收敛]]'''性质。和[[序列|函数列]]的一致收敛性质一样，函数项级数<math>\sum u_n (x)</math>在某个区间<math>\mathcal{I}</math>内（关于某个[[范数]]<math>\left \| \cdot \right \|</math>）一致收敛的定义是它的部分和函数<math>S_n</math> 在区间<math>\mathcal{I}</math>上一致收敛到和函数<math>S</math>，
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| S - S_n \right \|_{\mathcal{I}} = 0</math>
:或者写成<math>\lim_{n \rightarrow \infty }  \left \| \sum_{k=n}^{\infty} u_k \right \|_{\mathcal{I}} = 0</math>

可以证明：
{{Quote|如果级数<math>\sum u_n (x)</math> 在区间<math>\mathcal{I}</math> 内一致收敛，并且每个<math>u_n (x)</math> 都是连续函数，那么和函数<math>S</math> 在区间<math>\mathcal{I}</math> 上也是连续函数。}}

进一步的，如果导函数级数的每一项都是<math>\mathcal{C}^p</math>函数（<math>p</math>阶连续可微函数），并且各阶导函数级数<math>\sum u_n (x), \sum u_n^{(1)} (x), \sum u_n^{(2)} (x), \ldots, \sum u_n^{(p)} (x)</math>在区间<math>\mathcal{I}</math>内都一致收敛，那么级数和函数<math>S(x) = \sum u_n (x)</math> 也是<math>\mathcal{C}^p</math>函数，并且：
: <math>\forall 0 \le i \le p</math> ，<math>S^{(i)}(x) = \sum u_n^{(i)} (x)</math>。

=== 绝对收敛 ===
函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间<math>\mathcal{I}</math>和范数<math>\left \| \cdot \right \|_{\mathcal{I}}</math>，函数项级数<math>\sum u_n (x)</math>在区间<math>\mathcal{I}</math>内绝对收敛，当且仅当常数级数<math>\sum \left \| u_n \right \|_{\mathcal{I}}</math>收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间<math>\mathcal{I}</math>内一致收敛。{{fact|time=2010-9-24}}<!--是什么定理？请链至相应的页面-->

=== 幂级数 ===
{{Main|幂级数}}

形同<math>\sum a_n (x- x_0)^n</math>的函数项无穷级数称为<math>x- x_0</math>的'''幂级数'''。一般只需讨论形同<math>\sum a_n x^n</math>的幂级数。
==== 幂函数的收敛域 ====
根据[[阿贝尔定理]]，它的收敛域是一个关于零对称的[[区间]]，即为<math>( -R,R )</math>（可开可闭）的形式。这个正数<math>R</math>（可以是无穷大）叫做幂级数的'''收敛半径'''。并有定理：

设幂级数<math>\sum a_n x^n</math>满足<math>\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho</math>，则：
* <math> \rho</math>是正实数时，<math>R = {1 \over \rho}</math>。
* <math> \rho = 0</math>时，<math>R = \infty</math>。
* <math> \rho = \infty</math>时，<math>R = 0</math>。

==== 幂级数的和函数 ====
求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

== 渐进级数 ==

'''渐进级数'''是用来对某些函数的[[间断点]]附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与[[函数值]]之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的[[绝对误差]]，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

== 发散级数的和 ==
{{Main|发散级数}}

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如[[切萨罗求和]]、[[阿贝尔求和]]以及[[欧拉求和]]。

== 推广 ==
级数的概念可以在任何的[[阿贝尔群|对称]][[拓扑群]]中定义，常用的是在一个[[巴拿赫空间]]（比如实数或复数空间）中。

== 参见 ==
* [[收敛]]
* [[发散级数]]
* {{link-en|函数级数|function series}}
* [[级数展开]]
* [[求和变换]]
* [[阿贝尔定理]]
* [[黎曼级数定理]]
* [[柯西-阿达马公式]]

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

=== 参考书目 ===
* {{cite book|title=高等数学|year=2007|url=https://archive.org/details/gaodengshuxuexia0000unse_t9r8|author=同济大学数学系|publisher=高等教育出版社|edition=6|isbn=978-7-04-021277-8|language=zh-cn}}
* {{cite book|title=数学分析|author=北京大学数学科学学院|publisher=北京大学出版社|volume=2|edition=|isbn=|language=zh-cn|year=}}

{{級數}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Series}}
[[Category:级数| ]]
[[Category:无穷]]