查看“︁约翰逊-奈奎斯特噪声”︁的源代码


{{noteTA
|1=zh-cn:约翰逊; zh-tw:詹森; zh-hk:莊遜;
|2=zh-cn:奈奎; zh-hk:奈基;
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[[File:JohnsonNoiseEquivalentCircuits.svg|缩略图|这三个电路是等效的：'''(A)'''&nbsp;一个电阻在非零温度下具有约翰逊噪声。&nbsp;'''(B)'''&nbsp;一个无噪声电阻[[串聯電路|串联]]一个电压噪声源（即[[戴维南定理|戴维南等效]]电路）；&nbsp;'''(C)'''&nbsp;一个无噪声电阻[[並聯電路|并联]]一个电流噪声源（即[[諾頓定理|诺顿等效]]电路）。]]
'''约翰逊–奈奎斯特噪声'''（{{lang-en|Johnson–Nyquist noise}}，也称作'''热噪声'''， '''约翰逊噪声'''，或'''奈奎斯特噪声'''）是由于热搅动导致导体内部的电荷载体（通常是[[电子]]）达到平衡状态时的[[雜訊|电子噪声]]，与所施加[[电压]]无关。一般用统计物理推导该噪声被称作波动耗散定理，这里用广义[[阻抗]]或广义[[電極化率|极化率]]来表征该介质。

一个理想电阻器的热噪声接近[[白雜訊|白噪声]]，也就是功率[[谱密度]]在整个[[谱密度|频谱]]范围内几乎是不间断的（然而在极高频时并不如此）。 当限定为有限带宽时，热噪声近似[[正态分布|高斯分布]]。<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=hPx70ozDJlwC&pg=PA69&dq=thermal+johnson+noise+gaussian+filtered+bandwidth&hl=en&sa=X&ei=zRLnUbHEDe-0igLT5oCADA&ved=0CEMQ6AEwAw#v=onepage&q=thermal%20johnson%20noise%20gaussian%20filtered%20bandwidth&f=false|title=Digital Communications|last=John R. Barry|last2=Edward A. Lee|last3=David G. Messerschmitt|publisher=Sprinter|year=2004|isbn=9780792375487|page=69|access-date=2017-03-22|archive-date=2020-01-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125050015/https://books.google.com/books?id=hPx70ozDJlwC&pg=PA69&dq=thermal+johnson+noise+gaussian+filtered+bandwidth&hl=en&sa=X&ei=zRLnUbHEDe-0igLT5oCADA&ved=0CEMQ6AEwAw#v=onepage&q=thermal%20johnson%20noise%20gaussian%20filtered%20bandwidth&f=false|dead-url=no}}</ref>

== 历史 ==
该类型噪声是由约翰·约翰逊（John Bertrand Johnson）1926年在[[贝尔实验室]]发现并且第一次测量的。<ref>[http://prola.aps.org/pdf/PR/v29/i2/p350_1 "Proceedings of the American Physical Society: Minutes of the Philadelphia Meeting December 28, 29, 30, 1926"], Phys. </ref><ref>J. Johnson, [http://link.aps.org/abstract/PR/v32/p97 "Thermal Agitation of Electricity in Conductors"], Phys. </ref> 他向[[哈里·奈奎斯特]]描述了他的发现，奈奎斯特当时也在贝尔实验室并且能够解释这个结果。<ref name="Nyquist">H. Nyquist, [http://link.aps.org/abstract/PR/v32/p110 "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors"], Phys. </ref>

== 噪声电压与功率 ==
热噪声与[[散粒噪声]]完全不同，散粒噪声包括额外的电流波动，当提供电压并伴随宏观电流开始流动时就会产生。一般情况下，上述定义适用于任何类型的导电[[介质]]的电荷载体（例如，[[电解质]]中的[[离子]]），而不只是[[電阻器|电阻]]。可以通过一个能提供[[電阻器|非理想电阻]]噪声的电压源串联一个无噪声的理想电阻来模拟。

单边[[谱密度|功率谱密度]]，或电压变化（均方）[[带宽]]每[[赫兹]]，由下式给出
: <math>
\overline {v_{n}^2} = 4 k_\text{B} T R
</math>
其中&nbsp;''k''<sub>B</sub> 是[[波茲曼常數|玻尔兹曼常数]]用[[焦耳]]每[[开尔文]]表示, ''T'' 是电阻的绝对[[温度]]用开尔文表示，''R'' 是电阻值用[[歐姆|欧姆]](Ω)表示。

该公式可用于室温下的快速计算：
: <math>
\sqrt{\overline {v_{n}^2}} = 0.13 \sqrt{R} ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}.</math>
例如，一个 1&#x20;kΩ 电阻温度在 300&#x20;K 时有
: <math>
\sqrt{\overline {v_{n}^2}} = \sqrt{4 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}~\mathrm{J}/\mathrm{K} \cdot 300~\mathrm{K} \cdot 1~\mathrm{k}\Omega} = 4.07  ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}.</math>

对于给定带宽，电压 <math>v_{n}</math> 给出
: <math>
v_{n}  = \sqrt{\overline {v_{n}^2}}\sqrt{\Delta f } = \sqrt{ 4 k_\text{B} T R \Delta f }
</math>
其中 Δ''f''&nbsp; 为已测噪声之上的带宽用赫兹表示。一个&nbsp;1&#x20;k 电阻器在室温及 10&nbsp;&#x6B;&#x48;&#x7A;&nbsp;带宽情况下的RMS噪声电压是400&#x20;nV。<ref>[[google:sqrt(4*k*295+Kelvin*1+kiloOhm*(10+kHz))+in+nanovolt|Google Calculator result]] for 1&nbsp;kΩ room temperature 10&nbsp;kHz bandwidth</ref> 一个有用的经验法则需要记住的是，50&#x20;Ω 在室温及 1&#x20;Hz 带宽下对应于 1&#x20;nV 的噪声。

电阻器短路连接时的耗散噪声功率
: <math>
P = {v_{n}^2}/R = 4 k_\text{B} \,T \Delta f.
</math>

电阻器所产生的噪声可以传递至其余电路；最大的噪声功率传递发生在噪声产生阻抗与剩余电路的[[戴维南定理|戴维南等效]]阻抗[[阻抗匹配]]时。在这种情况下两部分阻抗中的任意一个的耗散噪声均作用在其本身和其他电阻。由于其中的任何一个电阻只有一半的压降，因此噪声功率
: <math>
P = k_\text{B} \,T \Delta f
</math>
此处&nbsp;''P'' 是热噪声功率用瓦表示。注意这是独立的噪声产生阻抗。

== 噪声电流 ==
噪声源也可以通过电流源并联电阻方式来模拟，通过[[諾頓定理|诺顿等效]]相应的只要简单地除以&nbsp;''R ''便可以得到。这里给出该电流源的[[平方平均数|均方根]]值为：
: <math>
i_n = \sqrt {{4 k_\text{B} T \Delta f } \over R}.
</math>

热噪声是所有电阻的固有属性，并不是糟糕的设计或制造商的标记，尽管电阻可能还含有多余的噪声。

== 噪声功率的分贝表示 ==
信号功率测量通常用[[分贝毫瓦|dBm]]（[[分貝|分贝]]相对于1 [[瓦特|毫瓦]]）表示。根据上述公式，噪声电源电阻在[[常温|室温下]]的噪声功率，用 dBm 表示为：
: <math>P_\mathrm{dBm} = 10\ \log_{10}(k_\text{B} T \Delta f \times 1000)</math>
其中的因数 1000 的出现是因为功率是用毫瓦表示的，而不是瓦。这个等式可以简化将带宽与常数部分分离：
: <math>P_\mathrm{dBm} = 10\ \log_{10}(k_\text{B} T \times 1000) + 10\ \log_{10}(\Delta f)</math>
其更通常的近似于室温度（T=300K）的形式为：
: <math>P_\mathrm{dBm} = -174 + 10\ \log_{10}(\Delta f)</math>
此处&nbsp;<math>\Delta f</math>&nbsp;用赫兹表示；例如，对于一个噪音带宽的 40&nbsp;&#x4D;&#x48;&#x7A;， <math>\Delta f</math>&nbsp;为 40,000,000。

使用该公式，噪声功率对于不同带宽便可简单计算：
:: {| class="wikitable"
! 带宽<math> (\Delta f )</math> 
! 热噪声功率
! 注释
|-
| 1&#x20;Hz
| -174 dBm 
|
|-
| 10&#x20;Hz 
| -164 dBm 
|
|-
| 100&#x20;Hz 
| -154 dBm 
|
|-
| 1&nbsp;&#x6B;Hz 
| -144 dBm 
|
|-
| 10&#x20;kHz 
| -134 dBm 
| [[频率调制|FM]] 信道的[[无线对讲机]]
|-
| 100&#x20;kHz 
| -124 dBm 
|
|-
| 180&#x20;kHz 
| -121.45 dBm 
| 一个 [[長期演進技術|LTE]] 资源块
|-
| 200&#x20;kHz 
| -121 dBm 
| [[GSM]] 信道
|-
| 1&#x20;MHz 
| -114 dBm 
| 蓝牙信道
|-
| 2&#x20;MHz 
| -111 dBm 
| 商业 [[全球定位系统|GPS]]&nbsp;信道
|-
| 3.84&#x20;MHz 
| -108 dBm 
| [[通用移动通讯系统|UMTS]]&nbsp;信道
|-
| 6&#x20;MHz 
| -106 dBm 
| [[類比電視|模拟电视]] 信道
|-
| 20&#x20;MHz 
| -101 dBm 
| [[IEEE 802.11|WLAN802.11]] 信道
|-
| 40&#x20;MHz 
| -98 dBm 
| [[IEEE 802.11n|WLAN802.11n]] 40&#x20;MHz 信道
|-
| 80&#x20;MHz 
| -95 dBm 
| [[IEEE 802.11ac|WLAN802.11ac]]&nbsp;80&#x20;MHz 信道
|-
| 160&#x20;MHz 
| -92 dBm 
| [[IEEE 802.11ac|WLAN802.11ac]] 160&#x20;MHz 信道
|-
| 1&#x20;GHz 
| -84 dBm 
| 超宽信道
|}

== 电容器上的热噪声 ==
电容器上的热噪声被称为 ''kTC'' 噪声。热噪声在一个[[RC電路|RC电路]]有一个非常简单的表达，当作[[电阻|阻抗]]（''R''）从公式中移除。这是因为更高的&nbsp;''R'' 有助于更好的滤波但也产生更多噪声。RC 电路的噪声带宽是 1/(4''RC'')，<ref>Kent H. Lundberg, See pdf, page 10: http://web.mit.edu/klund/www/papers/UNP_noise.pdf {{Wayback|url=http://web.mit.edu/klund/www/papers/UNP_noise.pdf |date=20210308065554 }}</ref>它可代入上述公式，以消除 ''R''。这样一个滤波器产生的噪声电压的均方与 RMS 为：<ref>R. Sarpeshkar, T. Delbruck, and C. A. Mead, [http://dx.doi.org/10.1109/101.261888 "White noise in MOS transistors and resistors"], ''IEEE Circuits Devices Mag.'', pp. 23–29, Nov. 1993. Also [http://users.ece.gatech.edu/~phasler/Courses/ECE6414/Unit1/Rahul_noise01.pdf here] {{Wayback|url=http://users.ece.gatech.edu/~phasler/Courses/ECE6414/Unit1/Rahul_noise01.pdf |date=20160721230321 }}</ref>

:<math>
\overline {v_{n}^2} = k_\text{B} T / C
</math>

:<math>
v_{n} = \sqrt{ k_\text{B} T / C }.
</math>

热噪声在电阻中占100%的 ''kTC'' 的噪声。

在极端的情况下开启一个理想开关会存留「重置噪声」在电容器上，阻抗是无限的，但公式仍然适用；但是，现在 RMS 必须解释为非时间上的平均，但是许多这样的重复事件的平均，由于电压在带宽为零时为常数。从这个意义上讲，RC电路的约翰逊噪声可以看作是固有的、电子在电容器上数量分布热力学效应，甚至不涉及电阻。

噪声并非电容器本身引起的，而是由电容器上的一定数量电荷的热力学波动引起的。一旦电容器与导体电路断开连接、热力学波动便「冻结」在如上面给出的一个[[標準差|标准偏差]]的随机值上。

电容的复位噪声传感器通常是一个有限噪声源，例如在[[图像传感器|图象传感器]]中。 作为电压噪声的一种替代，电容的复位噪声也可以进行定量为[[電荷|电荷]]的标准偏差，有

:<math>
Q_{n} = \sqrt{ k_\text{B} T C }.
</math>

由于电荷差异是 <math>k_\text{B} T C</math>，噪声常被称为「KTC 噪声」。

任何系统在[[熱平衡|热平衡]]有[[狀態變數|状态变量]]与平均[[能量]]的 ''kT''/2 每[[自由度 (物理学)|自由度]]。使用电容能量(''E''&#x20;=½''CV''<sup>2</sup>)，意味着电容器上的噪声能量在一个容器中可以看出也为½''C''(''kT''/''C'')，或''kT''/2. 电容器上的热噪声可以从该关系导出，无需考虑阻抗。

''kTC''&nbsp;噪声在小容量电容器中占主导地位。
:: {| class="wikitable"
|+电容器在300K的噪声
! 电容 
! <math> \sqrt{ k_\text{B} T / C } </math> 
! 电子
|-
| 1 fF 
| 2 mV 
| 12.5 e<sup>−</sup>
|-
| 10 fF 
| 640 µV 
| 40 e<sup>−</sup>
|-
| 100 fF 
| 200 µV 
| 125 e<sup>−</sup>
|-
| 1 pF 
| 64 µV 
| 400 e<sup>−</sup>
|-
| 10 pF 
| 20 µV 
| 1250 e<sup>−</sup>
|-
| 100 pF 
| 6.4 µV 
| 4000 e<sup>−</sup>
|-
| 1 nF 
| 2 µV 
| 12500 e<sup>−</sup>
|}

== 广义形式 ==
<math>4 k_\text{B} T R</math>噪声电压上所述是一个特殊的情况下对一个纯粹的阻性成分用于低频率。在一般情况下，热电噪声将继续是有关阻响应在许多更广义的用电情况下，由于 波动的分散定理的。下面的各种一般化狀況是值得注意的。所有的这些概括分享一个共同的限制，即它们只适用情况的电气部件下考虑的是纯粹的[[被動元件|被动]]和线性的。

=== 反应型阻抗 ===
奈奎斯特的原始文件还提供了广义的噪声的组成部分具有[[电抗|反应性]]反应，例如，来源包含电容器或电感。<ref name=Nyquist/> 这样的一个成分可以被描述过频率相关的复杂的[[阻抗|电阻抗]]<math>Z(f)</math>中。 该公式的[[谱密度|功率谱密度]]的系列噪声电压
:<math>
S_{v_n v_n}(f) = 4 k_\text{B} T \eta(f) \operatorname{Re}[Z(f)].
</math>
功能 <math>\eta(f)</math> 只是等于1，除了在非常高的频率，或者附近的绝对零度(见下文)。

真正的一部分的阻抗，<math>\operatorname{Re}[Z(f)]</math>是在一般的频率相等的约翰逊-奎斯特的噪音不是[[白雜訊|白噪音]]。
Rms噪声电压跨越的频率<math>f_1</math>至 <math>f_2</math>可以通过整合的功率谱密度：
:<math> \sqrt{\langle v_n^2 \rangle} = \sqrt{\int_{f_1}^{f_2} S_{v_n v_n}(f) df}</math>。
或者，一个平行的噪音目前可以被用于描述了约翰逊噪声，它的[[谱密度|功率谱密度]]正在
:<math>
S_{i_n i_n}(f) = 4 k_\text{B} T \eta(f) \operatorname{Re}[Y(f)].
</math>
那里<math>Y(f) = 1/Z(f)</math>是[[导纳|电准入]]；以注意，<math>\operatorname{Re}[Y(f)] = \operatorname{Re}[Z(f)]/|Z(f)|^2</math>

=== 量子效应的频率高温或低温 ===
奎斯特还指出，量子效应的发生频率非常高或极低的温度附近的绝对零度。<ref name=Nyquist/>功能<math>\eta(f)</math>一般由導出
:<math>\eta(f) = \frac{hf/k_\text{B} T}{e^{hf/k_\text{B} T} - 1},</math>
那里 <math>h</math> 是[[普朗克常数]]的。

在非常高的频率<math>f \gtrsim k_\text{B} T/h</math>，功能 <math>\eta(f)</math> 开始呈指数减少到零。在室温下这个转变发生在太赫兹，远远超出了能力的传统的电子产品，因此它是有效的设定 <math>\eta(f)=1</math> 对于传统的电子工作。

==== 相对于普朗克定律 ====
奎斯特的公式与普朗克1901年为电磁辐射的一个黑体在单一维度上——即它是一维的[[普朗克黑体辐射定律]]基本上是一样的。<ref>{{cite book |title=Fundamentals of Microwave Photonics |page=63 |url=https://books.google.com/books?id=mg91BgAAQBAJ&pg=PA63 |authors=V. J. Urick, Keith J. Williams, Jason D. McKinney}}</ref>换句话说，一个热电阻将创建电磁波[[传输线模型|传输线路]]只是作为一个热目将创造的电磁波的自由空间。

在1946年，迪克阐明的关系，<ref>{{Cite journal| doi = 10.1063/1.1770483| volume = 17| issue = 7| pages = 268–275| last = Dicke| first = R. H.| title = The Measurement of Thermal Radiation at Microwave Frequencies| journal = Review of Scientific Instruments| date = 1946-07-01| pmid=20991753}}</ref>和进一步把它连接到性天线，特别是事实上的平均天线口超过所有不同的方向不能大于 <math>\lambda^2/(4\pi)</math>，其中λ是波长。这是来自不同频率的依赖的3D对1D普朗克定律。

=== 多端口电气网络 ===
理查德*Q.Twiss 延长奎斯特的公式，多端口被动电网络，包括非互惠的设备，例如循环器和隔离的。<ref>{{Cite journal | doi = 10.1063/1.1722048| title = Nyquist's and Thevenin's Theorems Generalized for Nonreciprocal Linear Networks| url = https://archive.org/details/sim_journal-of-applied-physics_1955-05_26_5/page/599| journal = Journal of Applied Physics| volume = 26| issue = 5| pages = 599| year = 1955| last1 = Twiss | first1 = R. Q.}}</ref>
热噪音出现在每一个端口，并且可以被描述为随机的系列电压电源串联在每个端口。 随机电压不同端口可能是相关的，而它们的幅度和相关性都充分说明通过一个集中的[[谱密度|交叉频谱密度]]功能有关的不同的噪声电压
:<math>
S_{v_m v_n}(f) = 2 k_\text{B} T \eta(f) (Z_{mn}(f) + Z_{nm}(f)^*)
</math>
这里的 <math>Z_{mn}</math> 是[[阻抗矩阵]] <math>\mathbf{Z}</math>的元素。
再一种替代说明的噪音，而不是在条款平行的当前来源应用在每个端口。 他们的跨谱密度给出的通过
:<math>
S_{i_m i_n}(f) = 2 k_\text{B} T \eta(f) (Y_{mn}(f) + Y_{nm}(f)^*)
</math>
此处&nbsp;<math>\mathbf{Y} = \mathbf{Z}^{-1}</math>&nbsp;为[[Admittance parameters|导纳矩阵]]。

=== 连续电动力学介质 ===
奎斯特噪声的充分概括可在波动电动力学中找到，其中描述了噪声的[[电流密度]]在连续介质具有一个连续响应函数如[[电容率|介电常数]]或[[磁导率]]的耗散响应。
该等式的波动电动力学提供了一个通用框架用来描述约翰逊－奎斯特噪声及空间[[黑体辐射]]。<ref>{{Cite book|title=Statistical Physics, Part 2: Theory of the Condensed State|last=[[Lev Pitaevskii|L.P. Pitaevskii]], [[Evgeny Lifshitz|E.M. Lifshitz]]|publisher=[[Butterworth-Heinemann]]|year=1980|isbn=978-0-7506-2636-1|edition=1st|volume=Vol. 9|chapter=Chapter VIII. Electromagnetic Fluctuations}}</ref>

== 参见 ==
* 波动耗散定理
* [[散粒噪声]]
* [[粉红噪声|1/f 噪音]]
* [[朗之万方程]]

== 参考资料 ==
<references />
[[Category:電機工程]]
[[Category:电量参数]]
[[Category:电子工程]]