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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{About|代数拓扑中的纤维化|用于下降理论与范畴逻辑的范畴论中的纤维化|纤维范畴}} 
[[数学]]中，尤其是[[代数拓扑]]，一个'''纤维化'''（{{lang|en|fibration}}）是一个[[连续映射]]

:<math>p:E\to B,\,</math>

对任何空间满足[[同伦提升性质]]。[[纤维丛]]（在[[仿紧]]底上）构成一类重要例子。在[[同伦论]]中任何映射和纤维化“一样好”——即任何映射可以分解为到“映射道路空间”的同伦等价复合一个纤维化（参见[[同伦纤维]]）。

对 [[CW复形]]（或等价地，只用多方体 I<sup>n</sup>）有同伦提升性质的纤维化称为'''塞尔纤维化'''，[[让-皮埃尔·塞尔]]在其博士论文中部分提出了这个概念。这篇论文牢固地在[[代数拓扑学]]中建立了[[谱序列]]的使用，并将纤维丛与纤维化的概念从[[层 (数学)|层]]中清晰地分离出来（这两个概念在早期[[让·勒雷]]的处理中是不清晰的）。因为一个层（想象为一个[[艾达尔空间]]）可以视为一个[[局部同胚]]，那时候这些概念是密切相连的。

“纤维”由定义是 ''E'' 的子空间，是 ''B'' 中一个点 ''b'' 的逆像。如果底空间 ''B'' 是道路连通的，有定义可以推出 ''B'' 中两个不同点 ''b''<sub>1</sub> 和 ''b''<sub>2</sub> 的纤维是[[同伦等价]]的。从而我们通常就说纤维 ''F''。纤维化不必有定义更受限的纤维丛时的局部[[笛卡儿乘积]]结构，但弱一点仍可从纤维到纤维移动。[[塞尔谱序列]]的一个主要令人满意的性质是说明了底 ''B'' 的[[基本群]]在全空间 ''E'' 的同调上的作用。

乘积空间的投影映射容易看出是一个纤维化。纤维丛有局部平凡化性质——这样的笛卡儿乘积结构在 ''B'' 上局部存在，就通常足够证明一个纤维丛是一个纤维化。更确切地，如果在 ''B'' 一个可数开覆盖上有局部平凡化，则丛是纤维化。[[仿紧]]空间上任何覆盖——比如任何度量空间，有一个棵树加细，所以任何这样空间上的纤维丛是纤维化。局部平凡化也蕴含了[[良定义]]的“纤维”的存在性（差一个[[同胚]]），至少在 ''B'' 的每个[[連通分支 (拓撲)|连通分支]]上。

==例子==
下面纤维化的例子记作
:''F'' &rarr; ''E'' &rarr; ''B''，
这里第一个映射是“纤维” ''F'' 到群空间的包含，第二个是到底空间 ''B'' 的纤维化映射。这也称为一个纤维化序列。
* [[霍普夫纤维化]] ''S''<sup>1</sup> →  ''S''<sup>3</sup> → ''S''<sup>2</sup> 在历史上是纤维化最早的非平凡例子。
* 塞尔纤维化 ''SO''(2) → ''SO''(3) → ''S''<sup>2</sup> 来自[[旋转群]] ''SO''(3) 在[[球面]] ''S''<sup>2</sup> 上的作用。
* 在[[复射影空间]]上，存在一个纤维化 ''S''<sup>1</sup> → ''S''<sup>2''n''+1</sup> → '''CP'''<sup>''n''</sup>。

== 性质 ==
=== 欧拉示性数 ===
{{main|欧拉示性数}}
对具有一定条件的纤维化[[欧拉示性数]]是可乘的。

如果 <math>p\colon E \to B</math> 是一个纤维化，纤维为 ''F''，底 ''B'' 是[[道路连通]]的，且纤维化在一个域 ''K'' 上可定向，则在系数 ''K'' 中的欧拉示性数满足乘积性质：<ref>{{citation
|title=Algebraic Topology
|first=Edwin Henry
|last=Spanier
|authorlink=埃德温·斯潘尼尔
|publisher=Springer
|year=1982
|ISBN=978 0 38794426 5
|url=http://books.google.com/books?id=h-wc3TnZMCcC
|accessdate=2009-06-05
|archive-date=2017-02-10
|archive-url=https://web.archive.org/web/20170210193456/https://books.google.com/books?id=h-wc3TnZMCcC
|dead-url=no
}}, [http://books.google.com/books?id=h-wc3TnZMCcC&pg=PA481 Applications of the homology spectral sequence, p. 481] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=h-wc3TnZMCcC&pg=PA481 |date=20210415005612 }}</ref>
:<math>\chi(E) = \chi(F)\cdot \chi(B).</math>
这包括了特例乘积空间与覆叠空间，可用纤维化的同调[[塞尔谱序列]]证明。

对一个纤维丛，这也可用[[转移映射]] <math>\tau\colon H_*(B) \to H_*(E)</math> 来理解——注意这是一个提升且朝“错误的方向”—— 它与投影映射 <math>p_*\colon H_*(E) \to H_*(B)</math> 复合的效果是乘以纤维的[[欧拉类]]：<ref>{{citation
|title=Fibre bundles and the Euler characteristic
|first=Daniel Henry
|last=Gottlieb
|journal=Journal of Differential Geometry
|volume=10
|number=1
|year=1975
|pages=39–48
|url=http://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/17FibreBundlesAndtheEulerCharacteristic.pdf
|accessdate=2009-06-05
|archive-date=2021-04-24
|archive-url=https://web.archive.org/web/20210424003508/https://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/17FibreBundlesAndtheEulerCharacteristic.pdf
|dead-url=no
}}</ref>
<math>p_* \circ \tau = \chi(F) \cdot 1.</math>

==闭模型范畴中的纤维化==

拓扑空间范畴的纤维化可放入更一般的框架中，所谓[[闭模型范畴]]。在这样的范畴中，有一些特殊的态射，所谓的“纤维化”、[[上纤维化]]与[[弱等价]]。某些公理，比如纤维化在复合与[[拉回 (范畴论)|拉回]]下的稳定性，任何映射可分解为一个非周期上纤维化与一个纤维化或一个上纤维化与一个非周期纤维化的复合，这里词“非周期”表示相应的箭头不是一个弱等价，以及其他一些要求允许抽象地处理同伦理论。（在原先[[丹尼尔·奎伦]]的处理中，使用“平凡”代替“非周期”。）

可以证明拓扑空间范畴确实是一个模型范畴，这里（抽象的）纤维化恰好就是上面介绍的纤维化而弱等价是[[同伦等价]]，参考 {{harvtxt|Dwyer, Spaliński|1995}}。

==相关条目==
* {{le|同伦纤维|Homotopy fiber}}

== 参考文献 ==
<references/>
* {{Citation | last1=Dwyer | first1=William G. | last2=Spaliński | first2=J. | title=Handbook of algebraic topology | url=http://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?/Dwyer-Spalinski/theories | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | id={{MathSciNet | id = 1361887}} | year=1995 | chapter=Homotopy theories and model categories | pages=73–126 | accessdate=2022-03-25 | archive-date=2021-02-09 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210209105759/https://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?%2FDwyer-Spalinski%2Ftheories | dead-url=yes }} (model category structure on topological spaces)

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同伦论]]
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:范畴论]]