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<!--{{for|the linearization of a partial order|Linear extension}}-->
{{for|並行運算中的類似概念|線性一致性}}
数学上的'''線性化'''（linearization）是找[[函数]]在特定點的[[线性近似]]，也就是函數在該點的一階[[泰勒级数]]。在[[动力系统]]研究中，線性化是分析[[非線性系統|非線性]][[微分方程]]系統或是非線性離散系統，在特定[[平衡点]]局部[[穩定性理論|穩定性]]的一種方法<ref>{{Cite web |url=http://www.scholarpedia.org/article/Siegel_disks/Linearization |title=The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia |accessdate=2020-04-10 |archive-date=2018-07-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180704212750/http://www.scholarpedia.org/article/Siegel_disks/Linearization |dead-url=no }}</ref>。 此方法常應用在[[工程学]]、[[物理学]]、[[经济学]]及[[生态学]]的應用中。
==函數的線性化==
[[函数]]的線性化為[[線性函數]]。針對函數<math>y = f(x)</math>，若要用在任意點<math>x = a</math>下的值及其圖形[[斜率]]來進行近似時，假設<math>f(x)</math>在<math>[a, b]</math>（或<math>[b, a]</math>）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在<math>x = a</math>點附近，以直線來近似函數的值。例如<math>\sqrt{4} = 2</math>，那麼針對<math>\sqrt{4.001} = \sqrt{4 + .001}</math>，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。 

針對任意函數<math>y = f(x)</math>，<math>f(x)</math>在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是<math>L_a(a) = f(a)</math>，其中<math>L_a(x)</math>是<math>f(x)</math>在<math>x = a</math>的線性化。[[一次方程]]的圖形會形成直線，例如通過點
<math>(H, K)</math>，斜率為<math>M</math>為直線。方程式的一般形為<math>y - K = M(x - H)</math>。

若是配合點<math>(a, f(a))</math>，<math>L_a(x)</math>即變成<math>y = f(a) + M(x - a)</math>。因為可微分函數是[[可微函数|局部線性]]，該點的斜率可以用<math>f(x)</math>在點<math>x = a</math>切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點[[函數極限|可以任意接近]]點<math>x = a</math>，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率<math>M</math>最準確的值會是在<math>x = a</math>點的切線斜率。

[[Image:Tangent-calculus.svg|thumb|300px|f(x)=x^2在(''x'', ''f''(''x''))的近似值]]
旁邊的圖可以說明<math>f(x)</math>在點<math>x</math>的切線。在<math>f(x+h)</math>位置，其中<math>h</math>是小的正值或是負值，<math>f(x+h)</math>非常接近<math>(x+h, L(x+h))</math>點的切線。

函數在點<math>x = a</math>線性化的最終方程為：

<math>y = (f(a) + f'(a)(x - a))</math>

針對<math>x = a</math>，<math>f(a) = f(x)</math>。函數<math>f(x)</math>的導數為<math>f'(x)</math>，而函數<math>f(x)</math>在點<math>a</math>的斜率為<math>f'(a)</math>。

==例子==
若要找<math>\sqrt{4.001}</math>，可以用<math>\sqrt{4} = 2</math>的資訊。函數<math>f(x) = \sqrt{x}</math>在點<math>x = a</math>的線性化為<math>y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}}(x - a)</math>，因為函數<math>f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}</math>定義了函數<math>f(x) = \sqrt{x}</math>在點<math>x</math>的斜率。

代入<math>a = 4</math>，其線性化結果為<math>y = 2 + \frac{x-4}{4}</math>。

針對<math>x = 4.001</math>的例子，可得<math>\sqrt{4.001}</math>近似<math>2 + \frac{4.001-4}{4} = 2.00025</math>。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

==多變數函數的線性化==
函數<math>f(x,y)</math>在點<math>p(a,b)</math>線性化的方程式為：

<math> f(x,y) \approx f(a,b) + \left. {\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial x}}} \right|_{a,b} (x - a) + \left. {\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial y}}} \right|_{a,b} (y - b)</math>

多變數函數<math>f(\mathbf{x})</math>在點<math>\mathbf{p}</math>線性化的通式為

<math>f({\mathbf{x}}) \approx f({\mathbf{p}}) + \left. {\nabla f} \right|_{\mathbf{p}}  \cdot ({\mathbf{x}} - {\mathbf{p}})</math>

其中<math>\mathbf{x}</math>是變數向量，而<math>\mathbf{p}</math>是要線性化的點<ref>[http://www.ece.jhu.edu/~pi/Courses/454/linear.pdf Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100607120539/http://www.ece.jhu.edu/~pi/Courses/454/linear.pdf |date=2010-06-07 }}</ref>。

==線性化的應用==
配合線性化的技術，可以用研究[[線性系統]]的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近[[泰勒级数]]的一階展開。針對以下的系統

:<math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{x},t)</math>,

其線性化系統為

:<math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} \approx \mathbf{F}(\mathbf{x_0},t) + D\mathbf{F}(\mathbf{x_0},t)  \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x_0})</math>

其中<math>\mathbf{x_0}</math>是要觀測的特定點，而<math>D\mathbf{F}(\mathbf{x_0})</math>是<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>在點<math>\mathbf{x_0}</math>所計算的[[雅可比矩阵]]。

===穩定性分析===
在[[自治系统 (数学)|自治系统]]的[[穩定性理論|穩定性]]分析中，可以用在{{tsl|en|hyperbolic equilibrium point|雙曲平衡點}}計算[[雅可比矩阵]]的[[特征值]]來判斷平衡點的特徵。這就是{{tsl|en|linearization theorem|線性化理論}}的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素<ref>{{cite journal |first=G. A. |last=Leonov |first2=N. V. |last2=Kuznetsov |title=Time-Varying Linearization and the Perron effects |journal=International Journal of Bifurcation and Chaos |volume=17 |issue=4 |year=2007 |pages=1079–1107 |doi=10.1142/S0218127407017732 }}</ref>。

===微观经济学===
在[[微观经济学]]中，{{tsl|en|decision rule|決策規則}}可以用狀態空間下線性化的作法來近似<ref name="statespace">Moffatt, Mike. (2008) Dotdash ''[http://economics.about.com/od/economicsglossary/g/statespace.htm State-Space Approach] {{Wayback|url=http://economics.about.com/od/economicsglossary/g/statespace.htm |date=20160304055023 }}'' Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.</ref>。若以此方式分析，[[效用最大化]]的[[欧拉方程 (流体动力学)|欧拉方程]]可以在平穩穩態附近進行線性化<ref name="statespace"/>。所得動態方程的系統的唯一解即為其解<ref name="statespace"/>。

===最佳化===
在[[最优化]]中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如[[单纯形法]]）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域[[极值]]。

===多物理場===
在[[多物理场]]系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如[[牛顿法]]）。這類的例子包括{{tsl|en|MRI scanner|核磁共振掃描|MRI scanner}}系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統<ref>{{cite journal |first=S. |last=Bagwell |first2=P. D. |last2=Ledger |first3=A. J. |last3=Gil |first4=M. |last4=Mallett |first5=M. |last5=Kruip |year=2017 |title=A linearised ''hp''–finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners |journal=International Journal for Numerical Methods in Engineering |volume=112 |issue=10 |pages=1323–1352 |doi=10.1002/nme.5559 }}</ref>

==相關條目==
* {{Le|線性穩定性|Linear stability}}
* {{le|切線剛性矩陣|Tangent stiffness matrix}}
* {{le|穩定性導數|Stability derivatives}}<!--
* [[Linearization theorem]]-->
* [[泰勒公式]]
* {{le|泛函方程 (L函數)|Functional equation (L-function)}}

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* [http://www.mathworks.com/discovery/linearization.html Linearization for Model Analysis and Control Design] {{Wayback|url=http://www.mathworks.com/discovery/linearization.html |date=20110828130023 }}

[[Category:微分学]]
[[Category:動力系統]]
[[Category:逼近]]