查看“︁線性函數”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2024-07-10T07:44:54+00:00}}
{{distinguish|线性映射}}
在[[數學]]裏，'''線性函數'''（又称'''一次函数'''）在不同的[[領域]]中有多於一个用途和含意。

==初等數學用法==
{{main|函數}}
[[File:Linear functions2.PNG|350px|thumb|right|三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。紅色與綠色直線的y-截距相同。]] 

在初等[[代數]]與[[解析幾何]]，'''線性函數'''是只擁有一個[[变数]]的一階[[多項式]][[函数]]或者是只有[[常数]]的函数，因為在[[直角坐標系]]中這些函数的图形是[[直線]]。所以，這些函數是[[線性關係|'''線性的''']]。線性函數可以表達為'''[[斜率#斜截式|斜截式]]'''：

: <math>f(x) = kx + b\,\!</math> （<math>k</math>为常数且<math>k</math>≠<math>0</math>）；

其中， <math>k\,\!</math> 是[[斜率]]， <math>b\,\!</math> 是[[截距|y-截距]]，即函數的圖形與{{tsl|en|y-axis|y-軸}}[[相交]]的{{tsl|en|y-coordinate|y-坐標}}。改變斜率 <math>k\,\!</math> 會使直線更陡峭或平緩。改變y-截距 <math>b\,\!</math> 會將直線向上或下[[平移]]。

以下三個直線函數的圖形展示於圖右：

* <math>f_{1}(x) = 2x+1\,\!</math> ，
* <math>f_{2}(x) = \frac{x}{2}+1\,\!</math> ，
* <math>f_{3}(x) = \frac{x}{2} - 1\,\!</math> 。

当<math>k</math>或<math>b</math>不同时，一次函数经过的[[象限]]也不同，见下表：
{|class="wikitable"
!k的值!!b的值!!经过象限!!图像
|-
|<math>k>0</math>||<math>b>0</math>||第一、二、三象限||[[file:一次函数 一二三象限.png|70px]]
|-
|<math>k>0</math>||<math>b=0</math>||第一、三象限||[[file:正比例函数 k大于0.png|70px]]
|-
|<math>k>0</math>||<math>b<0</math>||第一、三、四象限||[[file:一次函数 一三四象限.png|70px]]
|-
|<math>k<0</math>||<math>b>0</math>||第一、二、四象限||[[file:一次函数 一二四象限.png|70px]]
|-
|<math>k<0</math>||<math>b=0</math>||第二、四象限||[[file:正比例函数 k小于0.png|70px]]
|-
|<math>k<0</math>||<math>b<0</math>||第二、三、四象限||[[file:一次函数 二三四象限.png|70px]]
|}

==高等數學用法==
{{main|線性關係}}
在[[高等數學]]裏的[[線性代數]]中，'''線性函數'''是一種[[線性映射]]，是在兩個[[向量空間]]之間，維持[[向量運算|向量加法]]與[[純量乘法]]的[[映射]]。

:<math>f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y}) </math>

:<math>f(a\mathbf{x}) = af(\mathbf{x})
</math>

例如我們用{{tsl|en|coordinate vector|坐標向量}} 來表示 <math>x\,\!</math> 與 <math>f(x)\,\!</math> ，那麼線性函數可以表達成
:<math>f(x) = \mathrm{M}x\,\!</math>，當中<math>M\,\!</math> 為[[矩陣]]。

==參見==
*[[仿射变换]]
*[[等差数列]]

{{多項式}}

[[Category:多項式|X]]
[[Category:函數|X]]