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在[[數學]]中，'''緊群'''（{{lang-en|Compact group}}）是其[[拓撲學|拓撲]]為[[緊集|緊緻]]的[[拓撲群]]。緊群是帶有[[離散拓撲]]的[[有限群]]的自然推廣，并以顯著方式延續了一些性質。緊群的理論已被人们深入研究，與[[群作用]]和[[群表示論]]有關。

下面我們假定所有群都是[[豪斯多夫空間]]，因為這個覆蓋了所有有價值的情況。

==緊李群==

[[李群 (數學)|李群]]形成最好一類拓撲群，而緊李群有特別良好開發的理論。緊李群的基本例子包括
* [[圓群]] '''T''' 和[[環面群]] '''T'''<sup>''n''</sup>，
* [[正交群]] O(''n'')，[[特殊正交群]] SO(''n'') 和它的覆蓋[[旋量群]] Spin(''n'')，
* [[酉群]] U(''n'') 和[[特殊酉群]] SU(''n'')，
* [[辛群]] Sp(''n'')，
* [[例外李群]]的緊緻形式: [[G2 (數學)|G<sub>2</sub>]], [[F4 (數學)|F<sub>4</sub>]], [[E6 (數學)|E<sub>6</sub>]], [[E7 (數學)|E<sub>7</sub>]] 和 [[E8 (數學)|E<sub>8</sub>]]，
* 所有[[有限群]](帶有[[離散拓撲]])。
緊李群的[[分類定理]]指出不別有限[[群擴張|擴張]]和有限[[覆蓋群|覆蓋]]之異時這窮盡了例子列表(它已經包含了一些冗余)。

===分類===

給定任何緊李群 ''G'' 我們可以選取它的[[單位元單元]] ''G''<sub>0</sub>，它是[[連通空間|連通]]的。[[商群]] ''G''/''G''<sub>0</sub> 是單元的群 &pi;<sub>0</sub>(''G'')，它必定有限的因為 ''G'' 是緊緻的。因此我們有了有限擴張
:<math>1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1\,</math>。
現在所有緊緻的連通李群 ''G''<sub>0</sub> 都有有限覆蓋
:<math>1\to A\to \tilde{G}_0\to G_0\to 1\,</math>
這里的 <math>A\sub Z(\tilde{G}_0)</math> 是有限[[阿貝爾群]]而 <math>\tilde{G_0}</math> 是環面和緊緻的、連通的、單連通李群 ''K'' 的乘積:
:<math>\tilde{G}_0 \cong \mathbb T^m \times K</math>。
最后，所有緊緻的、連通的、單連通李群 ''K'' 是緊緻的、連通的、單連通[[單李群]] ''K''<sub>''i''</sub> 的乘積，它們每個都同構於下列中唯一一個
*Sp(''n''), ''n'' &ge; 1
*SU(''n''), ''n'' &ge; 3
*Spin(''n''), ''n'' &ge; 7
*G<sub>2</sub>, F<sub>4</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub> 或 E<sub>8</sub>。

==進一步例子==

在不承載[[流形]]結構的非李群的群之中，例子有[[p-進數]]集的加法群 ''Z''<sub>''p''</sub> 和來自它的構造。事實上任何[[預有限群]]都是緊群。這意味著[[伽羅瓦群]]是緊群，這是[[代數擴張]]理論在無限次情況下的基本事實。

[[龐特里亞金對偶性]]提供大量緊交換群的例子。它們對偶於阿貝爾[[離散群]]。

==哈爾測度==

緊緻群都承載[[哈爾測度]]，它對于左和右平移的都是不變的([[哈爾測度|模數函數]]必定是到正乘法性實數的[[同態]]，因此為 1)。換句話說，這些群都是[[幺模群]]。哈爾測度易於正規化為[[概率測度]]，類似於在圓上的 d&theta;/2&pi;。 

這種哈爾測度在很多情況下都是容易計算的；例如[[胡尔维茨]]知道對于正交群如何計算，在李群的情況下總能通過不變[[微分形式]]的得到。在預有限情況有很多[[陪集|有限指標]]的子群，而陪集的哈爾測度將是指標的倒數。因此經常可非常直接的計算積分，這是在[[數論]]中常用到的事實。

==表示理論==

緊群的表示理論由[[彼得-外尔定理]]創立。[[赫尔曼·外尔]] 基于[[極大環面]]理論給出了緊連通李群的詳細的[[特征理論]]。結果的[[外爾特徵標公式]]是二十世紀數學的最有影響的成果之一。

==對偶==

==從緊群到非緊群==

==參見==
*[[局部緊群]]

==引用==
*{{Citation
 | last1 = Hofmann | first1 = Karl H.
 | last2 =  Morris | first2 =  Sidney A.
 | year = 1998
 | title = The structure of compact groups
 | publisher = de Gruyter
 | location = Berlin
 | isbn = 3-11-015268-1
}}

[[Category:拓撲群]]
[[Category:李群]]
[[Category:傅里葉分析]]