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在[[拓撲學]]和[[數學]]的相關領域裡，'''網'''（{{lang-en|Net}}）是[[序列]]的廣義化，用來統一[[極限]]不同的概念和將其廣義至任意的[[拓撲空間]]。網的極限對一般拓撲空間扮演的角色，就好比序列的極限之於[[第一可數空間]]（例如[[度量空間]]）。

一個序列通常以為[[全序關係|全序集合]]的[[自然數]]做為索引。網廣義化了此一概念，以把索引集合上的[[序理論|次序关系]]削弱成[[有向集合]]。

網於西元1922年首次由[[Eliakim Hastings Moore|E. H.摩爾]]與{{le|赫曼·莱尔·史密斯|Herman L. Smith}}提出。另一相關的概念－[[濾子 (數學)|濾子]]則於西元1937年由[[昂利·嘉當]]所發展。

==定義==

設''X''是一拓撲空間，''X''中的''網''是指一由某一[[有向集合]]''A''到''X''的[[函數]]。

設''A''是一有向集合，通常會把由''A''到''X''的網寫成(''x''<sub>α</sub>)，以用來表示''A''的元素α映射到''X''的元素''x''<sub>α</sub>上。通常用≥來標記由''A''所給定的二元關係。

==例子==

當[[自然數]]是一有向集合且序列是定義域為自然數的函數時，每一序列都會是一個網。

另一重要例子如下。給定拓撲空間上的一點''x''，讓''N''<sub>''x''</sub>標記為所有包含''x''的[[鄰域]]的集合。然後，''N''<sub>''x''</sub>會是個有向集合，其方向由內含的顛倒給定，即''S'' ≥ ''T''當''S''包含在''T''裡時。對在''N''<sub>''x''</sub>內的''S''，讓''x''<sub>''S''</sub>標記為''S''內的一點。然後，''x''<sub>''S''</sub>便會是一個網。當''S''對≥而言為增加時，網內的點''s''<sub>''S''</sub>會被限制在''x''的遞減鄰域內，直觀地說，這使得''x''<sub>''S''</sub>在某些意義上時必須趨向''x''。下面將把這一極限的概念講述的更清楚。

==網的極限==

若(''x''<sub>α</sub>)是一由有向集合''A''到''X''的網，且若''Y''是''X''的子集，則我們說(''x''<sub>α</sub>)是''最終於Y''，若'''存在一在''A''內的α能使得任一在''A''內會有β ≥ α的β，其點''x''<sub>β</sub>會在''Y''內。'''

若(''x''<sub>α</sub>)是拓撲空間''X''內的一網，且''x''是''X''的一元素，我們說這一個網''收斂至x''或稱''有極限x''，並寫做
:lim ''x''<sub>α</sub> = ''x''
[[若且唯若]]
:對任一''x''的[[鄰域]]''U''，(''x''<sub>α</sub>)會最終於''U''。
直觀地說，這表示''x''<sub>α</sub>會很靠近''x''，若α取得夠大。

注意，上述所舉的在一點''x''的[[邻域系统]]上的網根據定義是會確實地收斂至''x''了。

==網的極限的例子==

* [[收斂數列]]

*[[實數|實]]變數的[[函數極限]]：lim<sub>''x'' → ''c''</sub> ''f''(''x'')。這裡，我們根據距''c''的距離在集合'''R'''\{''c''}內取向。

*[[黎曼和]]的網的極限，用來[[黎曼積分]]的定義上。在此例子中，其有向集合為積分[[區間分割]]的集合，以內含以其偏序。相似的事情也被用來[[黎曼-斯蒂爾吉斯積分]]的定義上。

==追加定義==

若''D''和''E''為有向集合，且''h''為一由''D''到''E''的函數，則''h''被稱為'''共尾'''，若對任一在''E''內的''e''，總存在一在''D''內的''d''會使得當''q''為''D''的元素且''q'' ≥ ''d''時，''h''(''q'') ≥ ''e''。換句話，其[[值域]]''h''(''D'')會[[共尾]]於''E''。

若''D''和''E''為有向集合，''h''為由''E''到''E''的共尾函數，且φ是以''E''為基的集合''X''的網，則φo''h''稱做φ的''子網''。所有的子網都是這種類型，依其定義。

若φ是一以有向集合''D''為底的集合''X''的網，且''A''為''X''的子集，則φ'''頻繁地在'''''A''，當對於任一在''D''內的α，存在一在''D''的β且β ≥ α以使φ(β)在''A''內。

集合''X''的網φ稱做'''普遍的'''（或'''超網'''），若對於任一''X''的子集''A''，φ會最終於''A''或會最終於''X''-''A''。

==性質==
幾乎所有拓撲概念都能以網與極限的語言表述。這可以作為直覺的南鍼，因為網的極限在概念上近於序列的極限，後者在[[度量空間]]理論中被廣泛地運用。

* 拓撲空間之間的函數<math>f: X \to Y</math>在一點<math>x \in X</math>連續若且唯若對於每個網<math>(x_\alpha)</math>，若
: <math>\lim x_\alpha = x</math>
則有
: <math>\lim f(x_\alpha) = f(x)</math>
若將「網」換為「序列」，則此定理一般非真。當空間<math>X</math>非第一可數時，必須考慮比自然數集更廣的有向集。

* 一般而言，空間<math>X</math>的網可以有多個極限。當<math>X</math>為[[豪斯多夫空間]]時，極限是唯一的；反之，若<math>X</math>非豪斯多夫空間，則存在<math>X</math>中的一個網，使得它有兩個不同極限，因此豪斯多夫性質可以用網的極限刻劃。注意到此結果有賴於有向條件，以一般的預序或偏序為指標的集合仍可能有多個極限。

* 給定子集合<math>U \subset X</math>，則<math>x</math>屬於<math>U</math>的[[閉包]]若且為若存在網<math>(x_\alpha)</math>，使得<math>x_\alpha \in U</math>而且<math>x</math>為其極限。因此可以用網與極限刻劃閉包運算，從而刻劃開集與閉集。

* 空間<math>X</math>是[[緊緻]]的，若且唯若每個網<math>x_\alpha</math>都有個有極限的子網。這是[[Bolzano-Weierstrass定理]]與[[海涅-博雷尔定理]]的推廣。

* [[乘積空間]]中的網的極限由其投影決定：若<math>X = \prod X_i</math>，則<math>\lim (x_\alpha) = x</math>若且唯若<math>\forall i, \; \lim \pi_i(x_\alpha) = \pi_i(x)</math>

* 若<math>f: X \to Y</math>是連續函數，<math>(x_\alpha)</math>是超網，則<math>(f(x_\alpha))</math>亦然。

==另見==

[[濾子 (數學)|濾子]]的理論也提供了在一般拓撲空間內有關''收斂''的定義。

在[[一致空間]]（例如[[度量空間]]）中，可以將[[柯西序列]]的定義推廣為'''柯西網'''，由此導出[[柯西空間]]的定義。网 (''x''<sub>α</sub>)是柯西网，如果对于所有[[周围 (拓扑学)|周围]]''V''存在γ使得对于所有α, β ≥ γ，(''x''<sub>α</sub>, ''x''<sub>β</sub>)是''V''的成员。

==參考==

E. H. Moore and H. L. Smith (1922). A General Theory of Limits. ''American Journal of Mathematics'' '''44''' (2), 102–121.

[[Category:拓撲學|W]]

[[he:גבול (טופולוגיה)]]