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|G1 = Math
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若[[素数]]<math>p^2 | 2^{p-1}-1</math>，則稱為'''維費里希素数'''（Wieferich prime）。它最先在1909年[[阿圖爾·維費里希]]（Arthur Wieferich）有關[[費馬大定理]]的作品描述。

1909年，維費里希證明：<math>x, y, z</math>是[[整數]]同時<math>p</math>是[[質數]]使得<math>x^p+y^p+z^p=0</math>，並且<math>p \nmid xyz</math>，那麼<math>p</math>就是維費里希素数。

1910年Mirimanoff擴展這個定理，證明了若<math>p</math>符合上面的條件，<math>p|3^{p-1}</math>。

[[梅森數]]<math>M_q=2^q-1</math>的[[質因數]]<math>p</math>是維費里希素数[[若且唯若]]<math>p^2|2^q-1</math>，顯然，梅森質數不可能是維費里希素数。

==尋找==
現時已知的維費里希素数只有1093和3511（[[OEIS:A001220]]），由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自發現。若有更大的存在，它必須大於<math>1.25 \times10^{15}</math> [http://www.cs.dal.ca/~knauer/wieferich/]{{dead link|date=2018年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}。雖然1988年J. H. Silverman證明若[[abc猜想]]成立，對於任何正整數<math>a>1</math>，存在無限個質數<math>p</math>使得<math>p^2 \nmid a^{p-1}-1</math>；但「維費里希素数的數量有限」這個猜想仍未證實。

==參見==

* [[沃尔-孙-孙素数]]
* [[沃尔斯滕霍尔姆素数]]
* [[威爾遜質數]]
* {{link-en|「同餘」列表|Table of congruence}}

{{質數}}
[[Category:素數|Wieferich]]