查看“︁維格納半圓分布”︁的源代码

{{Probability distribution|
   name       =維格納半圓分布|
   type       =density|
   pdf_image  =[[Image:WignerS distribution PDF.svg|325px|Plot of the Wigner semicircle PDF]]<br /><small></small>||
   cdf_image  =[[Image:WignerS distribution CDF.svg|325px|Plot of the Wigner semicircle CDF]]<br /><small></small>|
   parameters =<math>R>0\!</math> [[radius]] ([[real number|real]])|
   support    =<math>x \in [-R;+R]\!</math>|
   pdf        =<math>\frac2{\pi R^2}\,\sqrt{R^2-x^2}\!</math>|
   cdf        =<math>\frac12+\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} + \frac{\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)}{\pi}\!</math><br />for <math>-R\leq x \leq R</math>|
   mean       =<math>0\,</math>|
   median     =<math>0\,</math>|
   mode       =<math>0\,</math>|
   variance   =<math>\frac{R^2}{4}\!</math>|
   skewness   =<math>0\,</math>|
   kurtosis   =<math>-1\,</math>|
   entropy    =<math>\ln (\pi R) - \frac12 \,</math>|
   mgf        =<math>2\,\frac{I_1(R\,t)}{R\,t}</math>|
   char       =<math>2\,\frac{J_1(R\,t)}{R\,t}</math>|
}}
'''維格納半圓分布'''是一以物理學家'''[[尤金·維格納]]'''(Eugene Wigner)命名的[[機率分佈]]。其[[機率密度函數]](Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果，因而其實其函數圖型是一半橢圓形。

:<math>f(x)={2 \over \pi R^2}\sqrt{R^2-x^2\,}\, </math>

for &minus;''R'' &le; ''x'' &le; ''R'', and ''f''(''x'') = 0 if ''R'' &lt; ''|x|''.

此機率分佈可做為一大小接近無限的[[隨機對稱矩陣]]，其[[特徵值和特徵向量|特徵值]](Eigenvalues) 的分布限制範圍。

它是一個經過縮放的[[Β分布]](Beta Distribution)。精確而言：當Y值有B分布(α = β = 3/2)時，則其''X'' = 2''RY'' – ''R''值具備上述分佈特性。

== 性質 ==

第二種[[切比雪夫多項式]](Chebyshev Polynomial)是此分布的[[正交多項式]] (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數''n''，此分佈之第2''n''項[[矩(數學)|動差]](Moment)為：

:<math>E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n} C_n\, </math>

此處 ''X''是一[[隨機變數]]，而''C''<sub>''n''</sub>是第''n''項 [[卡塔蘭數]](Catalan number)：

:<math>C_n={1 \over n+1}{2n \choose n},\, </math>



因此若R=2，此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係，所有奇數項之動差皆為0)

若以 <math>x=R\cos(\theta)</math> 替代式子[[動差生成函數]](Moment generating Function)內的x，則我們可以發現：


:<math>M(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^{Rt\cos(\theta)}\sin^2(\theta)\,d\theta</math>



並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_376.htm §9.6.18)] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_376.htm |date=20090904142315 }}：


:<math>M(t)=2\,\frac{I_1(Rt)}{Rt}</math>



式中的 <math>I_1(z)</math> 是一變異[[貝索函數]](Modified bessel functions)。

同樣地，其特徵方程式：


:<math>\varphi(t)=2\,\frac{J_1(Rt)}{Rt}</math>



其中的 <math>J_1(z)</math> 是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_360.htm §9.1.20)] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_360.htm |date=20110430093345 }}。若取一有限且接近0的實數 <math>R</math>，則維格納半圓分布成為一[[狄拉克δ函数]] (Dirac delta function)。[[微分方程式]] (Differential equation)

<math>
\left\{\left(r^2-x^2\right) f'(x)+x f(x)=0, \ f(1)=\frac{2 \sqrt{r^2-1}}{\pi 
   r^2}\right\}
</math>

== 與非古典機率的關係 ==

在 [[free probability|非古典機率]] (free probability) 理論中，維格納半圓分布有著如同[[常態分佈]] (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。
也就是說，在非古典機率中，[[累積量]] (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

== 參看 ==

* The W.s.d. is the limit of the [[Kesten–McKay measure|Kesten–McKay distributions]], as the parameter ''d'' tends to infinity.
* In [[number theory|number-theoretic]] literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See [[Sato–Tate conjecture]].
* [[Marchenko–Pastur distribution]] or [[Free Poisson distribution]]

== 參考 ==

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972.

== 相關連結 ==
*[[Eric W. Weisstein]] et al., [http://mathworld.wolfram.com/WignersSemicircleLaw.html Wigner's semicircle] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/WignersSemicircleLaw.html |date=20210424134515 }}

{{概率分布}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:随机矩阵]]