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'''綜合除法'''是一種簡便的[[多項式除法]]，只需加、乘兩種運算。一般的綜合除法可計算除式為一次多項式時的多項式除法。

被除數的未知數應是降幂排列，抽取係數用以計算。如果除式中的首項係數不是<math>1</math>，使用綜合除法前應先提取除式的首項係數。     

== 一般的綜合除法 ==
设被除式为
:<math>F(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
设除式为
:<math>G(x)=x-r\,\!</math><!-- The \,\! is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML to ensure consistency of representation. Please don't remove it.-->
设商为
:<math>Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>
另外有一个余数''s''

1. 分离<math>F(x)</math>的系数，按降幂写下，再把<math>r</math>写在左边，像这样:                          
:<math>\begin{array}{c|ccccc} 
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & ~ & ~ & ~ & ~\\
\hline 
\end{array}</math>

2. 把最左边的系数<math>a_n</math>直接拖下来，它就是商的最高次项系数：
:<math>\begin{array}{c|ccccc} 
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & ~ & ~ & ~ & ~\\
\hline
~ & a_n & ~ & ~ & ~ & ~\\
~ & =b_{n-1} & ~ & ~ & ~ & ~\\
\end{array}</math>

3. 把下边的最左边一个数乘上<math>r</math>，写到行上边的右边一位：
:<math>\begin{array}{c|ccccc} 
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & b_{n-1}r & ~ & ~ & ~\\
\hline
~ & a_n & ~ & ~ & ~ & ~\\
~ & =b_{n-1} & ~ & ~ & ~ & ~\\
\end{array}</math>

4. 上下两数相加，写到这一列的行下:
:<math>\begin{array}{c|ccccc} 
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & b_{n-1}r & ~ & ~ & ~\\
\hline
~ & a_n & a_{n-1}+b_{n-1}r & ~ & ~ & ~\\
~ & =b_{n-1} & =b_{n-2} & ~ & ~ & ~\\
\end{array}</math>

5. 重复第3，4步，直到没有剩下的数了:
:<math>\begin{array}{c|ccccc} 
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & b_{n-1}r & \cdots & b_1 r & b_0 r\\
\hline
~ & a_n & a_{n-1}+b_{n-1}r & \cdots & a_1+b_1 r & a_0+b_0 r\\
~ & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s\\
\end{array}</math>

''b''的值是商<math>Q(x)</math>的系数，商的次数比被除式的次数少<math>1</math>。最后的<math>s</math>是余数。

例如<math>2x^2+5x+3</math>除以<math>2x-3</math>
:<math>\begin{array}{c|cccc} 
~ & 2 & 5 & 3\\
\dfrac{3}{2} & ~ & 3 & 12\\
\hline
~ & 2 & 8 & 15\\
\end{array}</math>

因为除数用的是3/2，而不是3，所以还需将所得的系数除以2，

故商式为<math>x+4</math>，余式为<math>15</math>。

<math>2x^2+5x+3=(2x+8)\left(x-\frac{3}{2}\right)+15=(x+4)(2x-3)+15</math>

== 推廣的綜合除法 ==
推廣的綜合除法可計算除式為任意多項式的多項式除法。<ref>{{cite journal|author=董祥春 张风霞 王文省|year=2003|title=综合除法的推广和应用|journal=《聊城大学学报(自然科学版)》|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TALK200304027.htm|access-date=2016-06-17|archive-date=2016-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20160809042736/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TALK200304027.htm|dead-url=no}}</ref>

例如<math>x^3-12x^2-42</math>除以<math>x^2+x-3</math>
:<math>\begin{array}{c|cccc} 
~ & 1 & -12 & 0 & -42\\
3 & ~ & ~ & 3 & -39\\
-1 & ~ & -1 & 13 & ~\\
\hline
~ & 1 & -13 & 16 & -81\\
\end{array}</math>

商式為<math>x-13</math>，余式為<math>16x-81</math>。

<math>x^3-12x^2-42=(x-13)(x^2+x-3)+16x-81</math>

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:除法|Z]]