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{{Multiple issues|{{refimprove|date=2019年4月}}{{expert|date=2019年4月}}}}

在[[控制理論]]中，'''經典控制理論'''（Classical control theory）是以[[拉普拉斯变换]]為分析工具，探討有[[控制系統]]之特性、以及[[反馈]]對系統特性的影響。

控制理論中常見的目標是要控制特定系統（稱為[[受控體]]），使其輸出可以依照控制信號（稱為參考信號，可能是定值或是變動量）。為了實現此目的，會設計[[控制器]]來監控輸出，並且比較輸出和參考信號。實際輸出和參考信號的差（稱為誤差信號）會[[反馈]]到控制器中，再由控制器產生受控體的輸入信號，使受控體的實際輸出接近參考信號。

經典控制理論主要處理[[线性时不变系统理论|线性时不变]]的[[SISO系統|單一輸入單一輸出系統]]<ref>{{cite book|last1=Zhong|first1=Wan-Xie|title=Duality System in Applied Mechanics and Optimal Control|url=https://archive.org/details/dualitysystemapp00zhon_389|date=2004|publisher=Kluwer|isbn=978-1-4020-7880-4|page=[https://archive.org/details/dualitysystemapp00zhon_389/page/n295 283]|quote=The classical controller design methodology is iterative, and is effective for single-input, single-output linear time-invariant system analysis and design.}}</ref>，可以計算系統輸入信號及輸出信號的拉普拉斯变换，而系統的[[传递函数]]和輸入信號及輸出信號的拉普拉斯变换有關。

==反馈==
有些控制器不需要系統資訊，這類控制器稱為[[開迴路控制器]]，缺點是無法監控受控體的輸出，無法針對誤差進行修正。為了改善這些開迴路控制器的問題，經典控制理論引入了[[負反馈]]的概念，形成了閉迴路控制器。閉迴路控制器利用反馈來控制[[动力系统]]的[[狀態空間|狀態]]或是輸出。反馈是系統的訊號（例如電壓或是電流），對應受控體的狀態或輸出（例如電動機的速度或是轉矩）有關，反馈一般是透過[[传感器]]量測到的訊號，再送回控制器為輸入訊號，因此形成一個迴路。

相較於開迴路控制器，閉迴路控制器有以下的優點：
* 抑制外來的干擾（例如以下例子中，開車遇到的坡度變化）。
* 即使[[数学模型]]存在不確定性，其模型無法完全模擬真實過程，或是模型參數不完全一致時，仍可以確保其性能。
* 可以將[[不稳定性|不稳定]]的系統變的穩定。
* 降低參數變化的敏感度。
* 提昇系統追隨參考命令的性能。

有些系統會同時使用開迴路控制及閉迴路控制，這類系統中的開迴路控制稱為[[前馈控制]]，目的是進一步提昇系統追隨參考命令的性能。

像[[PID控制器]]就是常見的閉迴路控制器。

==經典控制及現代控制==
控制系統可以在[[時域]]下建模，將系統的輸出表示為輸入、先前系統狀態及時間的函數。隨著時間變化，系統的狀態及輸出會隨之改變。不過系統的時域模型多半會是高階的微分方程，人工很不容易求解，有些方程甚至用電腦不容易快速的求解。

為了處理這樣的問題，經典控制理論使用[[拉普拉斯变换]]將時域的線性非時變常微分方程轉換為s域代數多項式。若系統轉換到s域中，在處理上會方便很多。

[[現代控制理论]]則用不同方式處理，會將常微分方程轉換為低階的時域微分方程組，對應的變數稱為[[状态空间]]，後續則由線性代數的技巧來處理這些方程組<ref>{{cite book|last1=Ogata|first1=Katsuhiko|title=Modern Control Systems|date=2010|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-615673-4|page=2|edition=Fifth|quote=modern control theory, based on time-domain analysis and synthesis using state variables}}</ref>。

==拉普拉斯变换==
{{main|拉普拉斯变换}}
經典控制理論會用拉普拉斯变换來為系統及信號建模，拉普拉斯变换是針對連續時間信號或系統的頻域分析工具，不論是否穩定都可以使用。一個定義在正{{math|''t'' ≥ 0}}下的[[函数]] {{math|''f''(''t'')}}，其拉普拉斯变换是函數{{math|''F''(''s'')}}，是以下式定義的單方向轉換
: <math>F(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\, dt</math>
其中''s''是[[复数 (数学)|复数]]的頻率參數
: <math>s = \sigma + i \omega</math>，其中{{math|''σ''}}和{{math|''ω''}}為實數。
==閉迴路傳遞函數==
系統的輸出''y(t)''會透過感測器量測設備''F''送回控制器，和參考值''r(t)''比較。控制器''C''會計算輸出和參考值之間的誤差''e''，並且調整受控系統''P''的輸入信號''u''。如圖所示，這類的控制器即為閉迴路控制器或回授控制器。

上述的系統稱為[[單一輸入單一輸出]]（SISO）系統，也有許多系統屬於多重輸入多重輸出（MIMO）系統，輸入及輸出信號不止一個。這類系統的輸入變數及輸出變數不會用[[标量 (数学)|标量]]表示，而是用{{link-en|座標向量|coordinate vector|向量}}表示。若是針對[[分佈式參數系統]]，其向量可能會是無限[[向量空间的维数|维数]]（多半會用函數表示）。

[[File:simple feedback control loop2.svg|center|簡單的回授控制迴路]]

若假設控制器''C''、受控體''P''、感測器''F''都是[[線性關係|線性]]，而且是[[时不变系统]]（其傳遞函數''C(s)''、''P(s)''、''F(s)''不會隨時間變化），上述的系統可以用[[拉普拉斯变换]]來分析，可得到下式：

: <math>Y(s) = P(s) U(s)\,\!</math>
: <math>U(s) = C(s) E(s)\,\!</math>
: <math>E(s) = R(s) - F(s)Y(s).\,\!</math>

將''Y''(''s'')以''R''(''s'')來表示，可得

: <math>Y(s) = \left( \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)} \right) R(s) = H(s)R(s).</math>

<math>H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)}</math>就是系統的[[閉迴路傳遞函數]]，其分子是從''r''到''y''的前向（開迴路）增益，分母是1加上回授迴路的增益（稱為迴路增益）。若<math>|P(s)C(s)| \gg 1</math>，也就是對所有的''s''都有大的[[范数]]，且<math>|F(s)| \approx 1</math>，則''Y(s)''會近似''R(s)''，輸出會追隨參考輸入的變化。

==PID控制器==
{{details|PID控制器}}
[[PID控制器]]可能是最常使用的控制器，PID三個字母分別代表比例、積分及微分，是三種根據誤差訊號產生輸出控制信號的方式。令''u(t)''是送到受控系統的控制信號，''y(t)''是量測輸出、''r(t)''是理想的輸出信號，追隨誤差<math>e(t)=r(t)- y(t)</math>，PID控制器可以用下式表示

:<math>u(t) =  K_P e(t) + K_I \int e(t)\text{d}t + K_D \frac{\text{d}}{\text{d}t}e(t).</math>

可以透過調整三個參數<math> K_P</math>, <math> K_I</math> and <math> K_D</math>來得到理想的控制迴路動態，一般會反覆的調整，不一定需要有關受控系統的具體資訊。若只用比例控制，一般在適當的比例下可以確保其穩定性，積分項會消除步階擾動的影響（在[[过程控制]]中的重要規格），微分項是提供系統阻尼，或是調整響應特性。PID控制器是控制系統中最常用到的一種。不過不一定適用在許多複雜的應用中（例如多重輸入多重輸出系統）。

對PID控制器進行拉氏轉換可得到下式：

:<math>u(s) =  K_P e(s) + K_I \frac{1}{s} e(s) + K_D s e(s)</math>
:<math>u(s) =  \left(K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s\right) e(s)</math>

可以得到其傳遞函數
:<math>C(s) = \left(K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s\right).</math>
若將PID控制器表示為以下的形式

:<math>C(s) =  K \left(1 + \frac{1}{sT_i}\right)(1 + sT_d)</math>

迴授回路中的一階濾波器

:<math>F(s) = \frac{1}{1 + sT_f}</math>

有濾波輸入的線性致動器

:<math>P(s) = \frac{A}{1 + sT_p}</math>,   A = const

將這些放在閉迴路傳遞函數H(s)的式子中，調適就很簡單了，只要令

:<math>K = \frac{1}{A},   T_i = T_f,   T_d = T_p</math>

且令H(s) = 1。

在實際的PID控制器中，純微分器在物理上無法實現，也會引入一些不想要的特性<ref>Ang, K.H., Chong, G.C.Y., and Li, Y. (2005). [http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=1453566 PID control system analysis, design, and technology, ''IEEE Trans Control Systems Tech'', 13(4), pp.559-576].</ref>，會放大高頻雜訊，也會增加系統的共振點，因此會改用相位領先的補償器，或是微分器再加上低通的滾降。

==工具==
經典控制理論中會使用許多工具來分析系統，並且設計控制器。工具包括有[[根軌跡圖]]、[[奈奎斯特稳定判据]]、[[波德圖]]、[[增益裕度]]及[[相位裕度]]等。

==相關條目==
* [[状态空间]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:控制工程]]
[[Category:经典控制]]
[[Category:数学模型]]