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[[Image:Mercator-proj.png|thumb|絕妙定理的一個結果，就是地球在[[地圖]]上展示時不可能無扭曲。這幅地圖用的[[麥卡托投影法]]，[[共形變換|保持角度]]但不能保持面積。]]
'''絕妙定理'''（{{lang-la|'''Theorema Egregium'''}}）是[[微分幾何]]中關於[[曲面]]的[[曲率]]的重要定理，由[[高斯]]發現。這定理說曲面的[[高斯曲率]]可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定，無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之，高斯曲率是曲面的[[內蘊幾何|內蘊]][[不變量]]。用現代術語可表述為：
: [[高斯曲率]]在局部[[等距變換]]下不變。

用现代几何语言来说：高斯曲率是[[规范场论|规范]]不变量。

==定理敍述==
考慮在[[歐氏空間]]<math>\mathbb R^3</math>中的曲面。兩點間的'''內蘊距離'''定義為在曲面上且連接兩點的曲線的長度的[[最大下界]]。（例如一個單位球上兩個對徑點的內蘊距離是π，而在歐氏空間內的距離是2。）連接兩點的長度最短的曲線稱為[[測地線]]。

兩個空間若彼此間有保持距離相同的雙射，則這兩個空間等距。若在空間中每一點都有[[鄰域]]，可在其上定義如此的雙射，則這兩個空間是局部等距。

曲面上的一點的高斯曲率有幾種定義：
*穿過這點的測地線中最大和最小[[曲率]]的積，
*在這點的無限小的[[鄰域]]，經[[高斯映射]]在單位球面上的[[像 (數學)|像]]，和在曲面上的這鄰域的面積比。

在這些定義中，要算出高斯曲率，先要知道曲率如何[[嵌入 (數學)|嵌入]]到空間中。而一個曲面的不同嵌入，可得出局部等距的不同曲面。最簡單的例子是[[平面 (数学)|平面]]和[[圓柱體]]的側面：將一張攤成平面的紙捲起來包著圓柱體，就得出從平面到圓柱體側面的局部等距變換，因為這個變形不會改變紙上相近兩點的距離。

這條定理稱為絕妙定理，是因為高斯曲率的定義需靠曲面到空間的嵌入，而最終結果卻不依賴於嵌入。

== 参见 ==

* [[陈-高斯-博内定理]]

==參考==
* Karl Friedrich Gauss, ''[http://books.google.com/books?id=a1wTJR3kHwUC&dq General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=a1wTJR3kHwUC&dq |date=20140627063144 }}'', (1902) The Princeton University Library. ''(A translation of Gauss's original paper.)'' (Currently does not display the translated text)

* Karl Friedrich Gauss, ''[http://www.gutenberg.org/files/36856/36856-pdf.pdf General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825] {{Wayback|url=http://www.gutenberg.org/files/36856/36856-pdf.pdf |date=20170809055429 }}'', The Project Gutenberg EBook of General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, by Karl Friedrich Gauss

* Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), ''General Investigations Of Curved Surfaces'' Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6.

* Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), ''General Investigations of Curved Surfaces'' (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5.

* Carl Friedrich Gauss, ''Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827 Oct. 8'' (in Latin), http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=139389

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