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'''結式'''是[[數學]]中一個常用的不變量。考慮[[域 (數學)|域]] <math>F</math> 上兩個[[多項式]] <math>P, Q</math>，設其首項係數分別為 <math>a, b</math>，則其'''結式'''定義為

:<math>\mathrm{res}(P,Q) := a^{\deg Q} b^{\deg P} \prod_{(x,y) \in \bar{F}^2: \,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,</math>

其中 <math>\bar{F}</math> 為 <math>F</math> 的給定[[代數閉包]]。由此定義的結式是 <math>F</math> 的元素，而与代數閉包的選取无关。

==計算方式==
* 結式亦可理解為[[西爾維斯特矩陣]]的[[行列式]]。
* 為簡單起見，假設 <math>P,Q</math> 首項係數為一；若 <math>Q</math> 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為
:<math>\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x)\,</math>
: 此式僅依賴於 <math>Q</math> 除以 <math>P</math> 的餘式。
* 承上，可透過[[輾轉相除法]]求得結式。

==性質==

* <math>\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)</math>
* <math>\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)</math>
* 若 <math>P_1 = P + R*Q</math>且<math>\deg P_1 = \deg P</math>，那么<math>\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P_1, Q)</math>。在論及計算方式時已利用此性質。
* 若 <math>X, Y, P, Q</math> 同次，<math>X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q</math>，則有
: <math>\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)</math>
* <math>\mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)</math>，其中 <math>P_-(z) := P(-z)</math>。

==應用==

* 一多項式 <math>P</math> 與其[[導數]] <math>P'</math>的結式可由[[判別式]] <math>D(P)</math> 表示：設 <math>P</math> 的首項係數為 <math>a</math>，則
: <math>D(P) = (-1)^{\frac{\deg P (\deg P - 1)}{2}} a^{-1} \mathrm{res}(P,P')</math>。
* 在[[代數幾何]]中，可用結式計算兩條平面[[代數曲線]]之交。
* 在[[域論]]中，結式可用來計算[[範數]]。

==外部連結==

* [http://mathworld.wolfram.com/Resultant.html Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Resultant.html |date=20210502162748 }}

[[Category:多項式]]
[[Category:行列式]]