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在[[數學]]裡，'''結合代數'''是指一[[向量空間]](或更一般地，一[[模]])，其允許向量有具[[分配律]]和[[結合律]]的乘法。因此，它為一特殊的[[多元環|代數]]。結合代數，是一種代數系統，類似於群、環、域，而更接近於環。仿照由實數來構造複數的方法，可用複數來構造新的數。

==定義==
一於[[域 (數學)|體]]''K''上的結合代數''A''的定義為一於''K''上的向量空間，其''K''-[[雙線性映射]]''A'' × ''A'' → ''A'' 具有結合律：
* 對任何於''A''內的''x''、''y''和''z''，(''x y'') ''z'' = ''x'' (''y z'')。
此乘法的雙線性性質可表示成
* 對任何於''A''內的''x''、''y''和''z''，满足结合律:  (''x'' + ''y'') ''z'' = ''x z'' + ''y z''；
* 對任何於''A''內的''x''、''y''及於''K''的''a''，满足分配律: ''x'' (''y'' + ''z'') = ''x y'' + ''x z''；
* 對任何於''A''內的''x''、''y''及於''K''內的''a''，满足结合律 ''a'' (''x y'') = (''a'' ''x'') ''y'' = ''x'' (''a'' ''y'')。
當''A''含有單位元，即元素1使得對任一於''A''內的''x''，1''x'' = ''x''1 = ''x''，則稱''A''為''具一的結合代數''或'''[[單作]]結合代數'''。
此一代數為一個[[环 (代数)|環]]，且包含所以體''K''內的元素''a''，由''a''1相連接。

上述的定義沒有任何改變地廣義化成了於[[可交換環]]''K''上的代數(除了''K''-線性空間被稱做[[模]]而非向量空間之外)。詳述請見[[代數 (環論)]]。

於一體''K''上的結合代數''A''的''維度''為其''K''-向量空間的[[維度 (向量空間)|維度]]。

==例子==
* 其元素為體''K''的''n&times;n''[[方陣]]形成了一於''K''上的單作結合代數。
* [[复数 (数学)|複數]]形成了於[[實數]]上的二維單作結合代數。
* [[四元數]]形成了於實數上的四維單作結合代數(但不為一複數上的代數，因為複數和四元數不可交換)。
* 實係數[[多項式]]形成了一於實數上的單作結合代數。
* 給定一[[巴拿赫空間]]''X''，其[[連續線性算子]] ''A'' : ''n'' → ''X''形成了一單作結合代數(以算子複合做為乘法)；事實上，這是一個[[巴拿赫代數]]。
* 給定一[[拓撲空間]]''X''，於''X''上的連續實(複)值函數形成了一單作結合代數；這裡，加法和乘法是對函數的各點相加和相乘。
* 一非單作的結合代數為所有''x''趨向無限時的[[函数极限|極限]]為零的函數''f'': '''R''' → '''R'''所組成的集合。
* [[克里福代數]]也是結合代數的一種，在[[幾何]]和[[物理]]上都很有用。
* 局部有限[[偏序關係|偏序集合]]的[[相交代數]]為一[[組合數學]]內的單作結合代數。

==[[代數同態]]==
若''A''和''B''為體''K''上的結合代數，''[[代數同態]]'' ''h'': ''A'' → ''B''則是一''K''-[[線性算子|線性映射]]，其對任何於''A''內的''x''、''y''，會有''h''(''xy'') = ''h''(''x'') ''h''(''y'')的關係。加上[[態射]]的概念，於''K''上的結合代數組成的類便成了一[[範疇 (數學)|範疇]]。

舉個例子，設''A''為所有實值連續函數'''R''' → '''R'''所組成的代數，及''B''='''R'''，這兩者都是於'''R'''上的代數，且其每一連續函數''f''指定至數字''f''(0)的映射會是個由''A''至''B''的代數同態。

==免指標標記法==
前面所述之結合代數的定義，其結合律的定義是對''A''的所有元素而定的。但有時不涉及''A''內元素的結合律定義會較方便。
這可以由下列方法作到。一定義成在一向量空間''A''內映射''M''的代數：
:<math>M: A \times A \rightarrow A</math>
其為結合代數當''M''有下面性質：
:<math>M \circ (\mbox {Id} \times M) = M \circ (M \times \mbox {Id})</math>
其中，符號<math>\circ</math>表示函數的[[複合函數|複合]]，而Id則為[[恆等函數]]：對所有於''A''內的''x''，<math>Id(x)=x</math>。要了解其定義是等價的，只需要知道上述式子的兩邊都是三個引數的函數。例如，式子左邊為
:<math>( M \circ (\mbox {Id} \times M)) (x,y,z) = M (x, M(y,z))</math>

類似地，一單作結合代數可以以單位映射<math>\eta: K \rightarrow A</math>來定義，其性質如下：
:<math>M \circ (\mbox {Id} \times \eta ) = s = M \circ (\eta \times \mbox {Id})</math>
其中，單位映射η將''K''內的元素''k''映射至''A''內的元素''k1''，這裡''1''是''A''的[[單位元]]。映射''s''只是個純量乘積：<math>s:K\times A \rightarrow A</math>。

==廣義化==

==共代數==

==表示== 

==參考==
*  Ross Street, ''[https://web.archive.org/web/20050825034431/http://www-texdev.ics.mq.edu.au/Quantum/Quantum.ps Quantum Groups: an entrée to modern algebra]'' (1998). ''(Provides a good overview of index-free notation)''



[[Category:抽象代数|J]]