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{{NoteTA|G1=物理学}}
[[File:Terminal velocity.svg|thumb|200px|right|向下的重力（''F<sub>g</sub>''）相等於向上的阻力（''F<sub>d</sub>''）。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。]]
在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是'''終端速度'''。

當向下的重力（''F<sub>g</sub>''）相等於向上的阻力（''F<sub>d</sub>''）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的[[淨力]]為零，因此物體的速度保持不變<ref>{{cite web
  | publisher = 美國太空總署格林研究中心NASA Glenn Research Center
  | title = 終端速度
  | url = http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/termv.html
  | accessdate = 2009-03-04
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20090223132724/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/termv.html
  | archive-date = 2009-02-23
  | dead-url = yes
  }}{{en}}</ref>。

當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（<math>mg</math>）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。

==例子==
舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下[[自由落體]]姿勢的[[跳傘]]員，其終端速度約為195[[公里每小時|km/h]]（55[[米每秒|m/s]]）<ref name="Huang 1999">{{cite web |url=http://hypertextbook.com/facts/1998/JianHuang.shtml |last=Huang |first=Jian |work=The Physics Factbook |publisher=Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College |title=跳傘者的速度（終端速度） |date=1999 |access-date=2017-02-24 |archive-date=2020-11-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201124124006/https://hypertextbook.com/facts/1998/JianHuang.shtml |dead-url=no }}{{en}}</ref>。這個速度是整個加速過程的[[漸近線|漸近]]極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的50%只需要3秒，達到90%則需要8秒，而達到99%就需要15秒，如此類推。

如果跳傘員把四肢拉起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至320[[公里每小時|km/h]]（90[[米每秒|m/s]]）<ref name="Huang 1999" />，幾乎到達[[游隼]]向下追捕獵物時的速度；一粒典型的[[.30-06春田步槍彈|.30-06]]步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告<ref>{{cite web |url=http://www.loadammo.com/Topics/March01.htm |title=Bullets in the Sky |author=The Ballistician |publisher=W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089 |date=March 2001 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080331192517/http://www.loadammo.com/Topics/March01.htm |archivedate=2008-03-31 }}</ref> 。

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012年之前的世界紀錄由[[約瑟夫·基廷格]]在1960年所創下，速度為988[[公里每小時|km/h]]，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小<ref name="Huang 1999" /> 。[[菲利克斯·保加拿]]為了打破此紀錄，在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下，最高時速高達1357.6[[公里每小時|km/h]]，是目前的世界紀錄保持人。<ref name="BBC">{{cite news|title=奧地利冒險家鮑姆加特納太空跳傘|url=http://www.bbc.co.uk/zhongwen/trad/rolling_news/2012/10/121014_sky_dive.shtml|accessdate=2012-10-14|newspaper=BBC中文網|date=2012-10-14|archive-date=2012-10-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20121019044930/http://www.bbc.co.uk/zhongwen/trad/rolling_news/2012/10/121014_sky_dive.shtml|dead-url=no}}</ref>

一向着地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘9.806米（即加速度為9.806m‧s<sup>-2</sup>）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有着大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有着更低的終端速度。

數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示：
: <math>V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}</math>

其中
:<math>V_t</math>為終端速度， 
:<math>m</math>為物體重量， 
:<math>g</math>為[[地心引力|地球所引起的加速度]]， 
:<math>C_d</math>為[[阻力係數]]，
:<math>\rho</math>為物體落下時所處的流體[[密度]]，
:<math>A</math>為物體的投影面積。

數學上，一物體[[漸近線|漸近地]]到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用[[浮力|阿基米德定律]]來描述：質量<math>m</math>必須減去所排開的流體質量<math>\rho\mathcal{V}</math>，其中<math>\mathcal{V}</math>為物體的體積。所以不使用<math>m</math>，在各方程中改用約化質量<math>m_r=m-\rho\mathcal{V}</math>。

在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨着海拔減少而增加，海拔每減少80米，密度就增加約1%（使用[[氣壓公式]]）。若物體下降時穿越大氣層，每下降160米，終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。

==終端速度的推導==
數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力''F''<sub>net</sub>為（根據[[牛頓第二運動定律]]）：
:<math>F_{net} = m a = m g - F_D</math>。
其中：
''a''為[[加速度]]，
''F''<sub>D</sub>為阻力。

根據阻力公式：
:<math>F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C_d\, A</math>。

將上兩式結合可得
:<math>F_{net} = m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d}</math>。

在平衡時，淨力為零（''F''=0）：
:<math>m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} = 0 \ </math>。

解''v''可得，
:<math>\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_\mathrm{d}} \ </math>。

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!速度''v''作為時間''t''函數解的推導
|-
|
阻力方程為
:<math> m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} </math>。

取'k'' = {{frac|1|2}}''&rho;AC''<sub>d</sub>，此時方程的形式較為實用。

兩邊一起除以''m''得
:<math>\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g-\frac{kv^2}{m} </math>。

整理方程得
:<math> dt=\frac{\mathrm{d}v}{g-\frac{kv^2}{m}}</math>。

取兩邊積分得
:<math>\int_0^t {\mathrm{d}t^\prime} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{g-\frac{kv^{\prime 2}}{m}} = {1 \over g}\int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{1-\alpha^2 v^{\prime 2}} </math>，

其中''&alpha;'' = ( {{frac|''k''|''mg''}} )<sup>{{frac|1|2}}</sup>.

積分後，得
:<math>t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^\prime) \over 2\alpha}-\frac{\ln(1-\alpha v^\prime)}{2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v}={1 \over g} \left[{\ln \frac{1+\alpha v^\prime}{1-\alpha v^\prime} \over 2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v},</math>

或簡化形式
:<math>t={1 \over 2\alpha g} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v} \ .</math>

[[反雙曲函數|反雙曲正切函數]]（arctanh）的定義為:
:<math>\frac{1}{2} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v}=\mathrm{arctanh}(\alpha v)</math>.

故方程解的積分為
:<math>t=\frac{\mathrm{arctanh}(\alpha v)}{\alpha g} </math>，

上式可簡化成
:<math>\frac{1}{\alpha}\tanh(\alpha g t)=v </math>，

其中tanh為[[雙曲函數|雙曲正切函數]]。設''g''為正數（它的定義確實是正數），然後把''α''的值代入，得

:<math> v=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left( \sqrt{\frac{k}{mg}} g t\right)</math>，

代入''k'' = {{frac|1|2}}''&rho;AC''<sub>d</sub>，得''v''所需的形式
:<math>v=\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C_d }{2m}}\right)</math>，

當時間趨向無限（''t'' &rarr; &infin;），雙曲正切趨向1，得終端速度
:<math>\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}</math>。
|}

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!由能量守恒推導
|-
|
能量守恒方程为
:<math> mgh= k v^2 h + \frac{1}{2} m v^2 </math>。
分离v得到
:<math> v =\sqrt\frac{mgh}{kh + {1 \over 2}m} \ </math>。
当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), ''h'' &rarr; &infin; ， 故以上式子取极限得
:<math> v =\sqrt\frac{mg}{k} \ </math >。
|}

==有浮力情況下的終端速度==
當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

:<math> \quad (1) \qquad W = F_b + D </math>

其中

:<math>W</math>為物體的重量， 
:<math>F_b</math>為作用於物體上的浮力，及
:<math>D</math> 為作用於物體上的阻力。

若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：

:<math>\quad (2) \qquad W = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho_s g</math>


:<math>\quad (3) \qquad F_b = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho g</math> <math></math>


:<math>\quad (4) \qquad D = C_d \tfrac{1}{2} \rho V^2 A</math>

其中

:<math>d</math>為球體的直徑， 
:<math>g</math>為重力加速度， 
:<math>\rho</math>為流體的密度， 
:<math>\rho_s</math>為球體的密度， 
:<math>A = \pi d^2/4 </math>為球體投影面積， 
:<math>C_d</math>阻力係數，及
:<math>V</math>為特徵速度（即終端速度，<math>V_t </math>）。

將方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解<math>V_t </math>的值，得下式：

:<math> \quad (5) \qquad V_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C_d} \left( \frac{\rho_s - \rho}{\rho} \right)} </math>。

===蠕流下的終端速度===
[[Image:Stokes sphere.svg|thumb|right|200px|蠕流流過球體示意圖：[[流線]]、阻力''F''<sub>d</sub>及重力''F''<sub>g</sub>]]
對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為[[蠕流]]，而蠕流需要滿足[[雷諾數]]<math>Re \ll 1</math>的條件。蠕流的運動方程（簡化後的[[納維-斯托克斯方程]]）如下：

:<math>\nabla p = \mu \nabla^2 {\mathbf v} </math>

其中：

:<math>{\mathbf v}</math>為速度向量場，
:<math>p</math>為壓力場，及
:<math>\mu</math> 為流體[[黏度]]。

流過球體的蠕流解析解最早由[[喬治·斯托克斯]]於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

:<math>\quad (6) \qquad D = 3\pi \mu d V \qquad \qquad</math> 或 <math>\qquad \qquad C_d = \frac{24}{Re} </math>

其中雷諾數<math>Re = \tfrac{\rho d V}{\mu} </math>。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為[[斯托克斯定律]]。

把<math>C_d</math>的值代入至方程(5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式：

:<math> V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right)</math>。

===應用===
蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於[[黏度計|落球式黏度計]]，一種量度高黏度流體[[黏度]]的實驗裝置。

==另見==
*[[斯托克斯定律]]
*[[自由落體]]

== 参考文献 ==
{{Reflist|30em}}

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20090223132724/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/termv.html 終端速度]——[[美國太空總署]]頁面{{en}}
*[http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=8330 終端速度與物體的大小尺度] {{Wayback|url=http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=8330 |date=20200816025621 }}物理動畫

[[分類:流體動力學]]
[[分类:物理学术语]]