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{{Expand|time=2013-02-14T05:00:15+00:00 }}
'''累进可除数'''（{{lang-en|Polydivisible number}}）是有以下特質的[[整數]]：首個位非零，而且由它首<math>n</math>個位組成的數是<math>n</math>的[[倍數]]。

例如345654:
* <math>1 \mid 3</math>
* <math>2 \mid 34</math>
* <math>3 \mid 345</math>
* <math>4 \mid 3456</math>

而123456就非累进可除数，因為1234不是4的倍數。

累进可除数可以在不同的[[进位制]]中定義。本條目僅談論十進制中的情況。

==背景==
累进可除数是[[趣味數學]]上的一道名題的一般化：

:用1至9排列成一個數，使其首2個位能被2除盡，首3個位能被3除盡，如此類推，整個數是9的倍數。

雖然9位的累进可除数有2492個，但唯一一個包含1至9的數字而不重覆的只有一個，是381,654,729。

==累进可除数的數目==
若<math>k</math>是<math>n - 1</math>位的累进可除数，若有<math>10k</math>和<math>10k + 9</math>之間有數可以被<math>k</math>整除，<math>k</math>便可以擴充一個位，成為n位的累进可除数。若<math>n \le 10</math>，必定可以由<math>n-1</math>位的累进可除数擴充成n位的累进可除数，且有多於一個可行的擴充辦法。反之，若<math>n > 10</math>，<math>n</math>越大，能夠擴充成為另一個累进可除数的辦法隨之而越少。因此，將累进可除数的分布畫成曲線圖，會得出一條[[鐘形曲線]]。

平均來說，每個<math>n - 1</math>位的累进可除数擴充成n位的累进可除数有<math>\frac{10}{n}</math>種方法。這產生了以下這條用以估計n位的累进可除数數目的公式（以<math>F(n)</math>表示<math>n</math>位累进可除数的數目）：
:<math>F(n) \approx \frac{9 \times 10^{n - 1}}{n!}</math>

將所有<math>n</math>之值加起來套入此式，就得出所有累进可除数的數目：

:<math>\frac{9(e^{10} - 1)}{10} \approx 19823</math>

[[File:graph_of_polydivisible_number.png|frame|藍線—實際的數目；紫線—估計的數目]]
{| class="wikitable"
! 位數<math>n</math> !! <math>F(n)</math> !! 估計值
|-
|1 || 9 || 9
|-
|2 || 45 || 45
|-
|3 || 150 || 150
|-
|4 || 375 || 375
|-
|5 || 750 || 750
|-
|6 || 1200 || 1250
|-
|7 || 1713 || 1786
|-
|8 || 2227 || 2232
|-
|9 || 2492 || 2480
|-
|10 || 2492 || 2480
|-
|11 || 2225 || 2255
|-
|12 || 2041 || 1879
|-
|13 || 1575 || 1445
|-
|14 || 1132 || 1032
|-
|15 || 770 || 688
|-
|16 || 571 || 430
|-
|17 || 335 || 253
|-
|18 || 180 || 141
|-
|19 || 90 || 74
|-
|20 || 44 || 37
|-
|21 || 18 || 17
|-
|22 || 12 || 8
|-
|23 || 6 || 3
|-
|24 || 3 || 1
|-
|25 || 1 || 1
|}
最長的累进可除数有25位，等於360,852,885,036,840,078,603,672,5。

==相關問題==
* 在[[泛位數]]中數字0~9各出現一次的累進可除數，唯一的解是381,654,729,0
* 在累进可除数上的數字運用加上限制。例如：求最長的累进可除数其數字均為[[偶數]]。答案是480,006,882,084,660,840,40。
* 找尋[[回文數|回文]]累进可除数。這類數最長的是300,006,000,03。
* 找出其他進位制中的累进可除数。

==外部連結==
* [http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Lanier/Nine.Digit/nine.html Nine Digit Number] {{Wayback|url=http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Lanier/Nine.Digit/nine.html |date=20210422213758 }}(英文)
* [http://www.bitman.name/math/article/1204/] {{Wayback|url=http://www.bitman.name/math/article/1204/ |date=20190430134427 }}(意大利文)
[[Category:數字相關的數列]]