查看“︁累积分布函数”︁的源代码

{{expand|time=2013-10-26T19:16:02+00:00}}
{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|2= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
[[File:Exponential distribution cdf.png|thumb|300px|[[指数分布]]的累积分布函数]]
[[File:Normal Distribution CDF.svg|thumb|300px|[[正态分布]]的累积分布函数]]

'''累积分布函数'''（{{lang-en|cumulative distribution function}}，CDF）或'''概率分布函数'''，简称'''分布函数'''，是[[概率密度函數]]的积分，能完整描述一個實[[随机变量]]<math>X</math>的[[概率分佈]]。

在標量[[概率分布#連續機率分布族|連續分佈]]的情況下，它給出了從負無窮到<math>x</math>的[[概率密度函數]]下的面積。 [[累積分佈函數]]也用於指定{{le|多元隨機變量|Multivariate random variable}}的分佈。

==定義==

對於所有[[實數]]值的[[随机变量]]<math>X</math> ，累积分布函数定義如下<ref name=KunIlPark>{{cite book | author=Park, Kun Il| title=Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications| publisher=Springer | year=2018 | isbn=978-3-319-68074-3}}</ref>{{rp|p. 77}}：
{{Equation box 1
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|title=
|equation = {{NumBlk||<math display="block">F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
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其中右侧表示随机变量<math>X</math>取值小于或等于<math>x</math>的[[概率]]。

對於<math>X</math>位于半闭区间<math>(a,b]</math> 的概率，其中<math>a < b</math>，因此定義是<ref name=KunIlPark/>{{rp|p. 84}}:

{{Equation box 1
|indent =
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|equation = {{NumBlk||<math display="block">\operatorname{P}(a < X \le b)= F_X(b) - F_X(a)</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}
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在上面的定義中，“小於或等於”符號“≤”是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用“<”），但這種區別對於離散分佈很重要。[[二項式分布]]和[[卜瓦松分布|泊松分布]]的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家[[保羅·皮埃爾·萊維]](Paul Lévy)的[[特征函数 (概率论)|特徵函數]]反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。

==性質==

* [[有界函数|有界性]]<ref>《概率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍</ref>
**<math>\lim_{x\to -\infty}F_X(x)=0</math>
**<math>\lim_{x\to +\infty}F_X(x)=1</math>
* [[單調性]]：
**<math>F_X(x_1) \le F_X(x_2),\ \mbox{if} \, x_1<x_2</math>
*[[連續|右連續]]性：
**<math>\lim_{x \rightarrow x_0^+} F_X(x) = F_X(x_0)</math>
''<math>X</math>''之值落在一區間<math>(a,b]</math>之內的機率為
:<math>\operatorname{P}(a < X \le b)= F_X(b)-F_X(a)</math>
一隨機變數''<math>X</math>''的CDF與其PDF的關係為
:<math>F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt</math>

==反函数==
若累积分布函数 <math>F</math> 是连续的严格增函数，则存在其[[反函数]]<math> F^{-1}( y ), y \in [0,1] </math>。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若<math>F_X(x)</math>是概率分布<math>X</math>的累积分布函数，并存在反函数<math>F_X^{-1}</math>。若<math>a</math>是<math>[0,1)</math>区间上均匀分布的随机变量，则<math>F_X^{-1}(a)</math>服从<math>X</math>分布。

== 互补累积分布函数==
互补累積分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于<math>a</math>的值，其出现概率的和。

:<math> F(a)=P(x>a) </math>

==參見==
*[[機率密度函數]]
*[[概率质量函数|機率質量函數]]

==參考==
{{註腳}}

{{概率分布理论}}

{{mathstub}}
[[Category:与概率分布相关的函数]]