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在[[数学]]中，'''紧致开拓扑'''是定义在两个[[拓扑空间]]之间的所有[[连续函数|连续映射]]的[[集合 (數學)|集合]]上的一种[[拓扑空间|拓扑]]。紧致开拓扑是函数空间上的常用拓扑之一，在[[同伦]]理论和[[泛函分析]]中有应用。

== 定义 ==

设 ''X''、''Y'' 为两个拓扑空间，令''C''(''X'', ''Y'') 为所有从''X'' 射到 ''Y'' 上的连续映射的集合。对于''X'' 中的一个[[紧集]]''K'' 和 ''Y'' 中的一个[[开集]]''U''，设''V''(''K'', ''U'') 为集合 ''C''(''X'', ''Y'')中所有使得''f''(''K'')属于 ''U'' 的[[映射]]的集合。所有的''V''(''K'', ''U'') 构成紧致开拓扑的一个[[子基]]（但一般不构成''C''(''X'', ''Y'')上的一个[[拓扑基]]）。

== 性质 ==

* 如果 ''*'' 是一个单点空间，那么可以将''C''(''*'', ''X'') 等同于 ''X''。在这种情况下，''C''(''*'', ''X'') 上面的紧致开拓扑就等同于''X'' 上的拓扑。
* 如果''Y'' 是[[T0空间|''T''<sub>0</sub>空间]]、[[T1空间|''T''<sub>1</sub>空间]]、[[豪斯多夫空间]]、[[正则空间]]或者[[吉洪诺夫空间]]的话，那么对应的紧致开拓扑满足[[分离公理]]。
* 如果 ''X'' 是豪斯多夫空间，并且''S'' 是''Y'' 的一个子基，那么集合<math> \left\{ V(K, U) : U \in S \right\}</math> 是 ''C''(''X'', ''Y'') 上的紧致开拓扑的一个子基。
* 如果 ''Y'' 是[[一致空间]]（特别来说，如果 ''Y'' 是一个[[度量空间]]），那么其对应的紧致开拓扑等价于[[紧收敛拓扑]]。换句话说，如果 ''Y'' 是[[一致空间]]的话，那么一个函数序列 {''f''<sub>''n''</sub>}在紧致开拓扑上[[极限|收敛]]到一个极限（设为 ''f''）当且仅当对 ''X'' 所有的紧子集 ''K''，{''f''<sub>''n''</sub>} 都在''K'' 上[[一致收敛]]到 ''f''。特别地，如果 ''X'' 是紧集，而 ''Y'' 是[[一致空间]]，那么其对应的紧致开拓扑等价于基于[[一致收敛]]的拓扑。
* 如果 ''X''、''Y'' 和 ''Z'' 是三个拓扑空间，其中''Y'' 是[[局部紧空间|局部豪斯多夫紧致]]的（或者仅仅是[[准正则空间|准正则]]的），那么由关系：(''f'', ''g'') <math>\mapsto</math> ''f''<small>o</small>''g'' 所给出的[[复合函数|复合映射]] ''C''(''Y'', ''Z'') &times; ''C''(''X'', ''Y'')&nbsp;&rarr;&nbsp;''C''(''X'', ''Z'') 是[[连续]]的（这里所有的映射空间都使用相应的紧致开拓扑，而 ''C''(''Y'', ''Z'') &times; ''C''(''X'', ''Y'')上的是[[积空间|积拓扑]]）。
* 如果 ''Y'' 是[[局部紧空间|局部豪斯多夫紧致]]的（或者仅仅是[[准正则空间|准正则]]的），那么赋值函数''e''&nbsp;:&nbsp;''C''(''Y'',&nbsp;''Z'')&nbsp;&times;&nbsp;''Y''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z''（定义为''e''(''f'', ''x'') = ''f''(''x'')）是连续函数。这可以看成上一个性质在''X'' 为单点空间时的特例。
* 如果 ''X'' 是紧空间，''Y'' 是装备有[[距离]] ''d'' 的度量空间，那么''C''(''X'', ''Y'') 上的紧致开映射是[[度量空间|可度量的]]，并且其上的距离由函数 <math>e (f ,g) = \sup \left\{ d ( f ( x ),  g (x)) : x \in X \right\}</math> 所给出。

==参见==
* [[有界开拓扑]]

==参考来源==
*{{cite book | last = Dugundji | first = James | title = Topology | url = https://archive.org/details/topology0000dugu | publisher = Allyn and Bacon | location = Boston, Massachusetts | year = 1966 | id = ISBN  B000-KWE22-K}}
* O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev (2007) <cite>[http://www.math.uu.se/~oleg/topoman.html Textbook in Problems on Elementary Topology] {{Wayback|url=http://www.math.uu.se/~oleg/topoman.html |date=20070129133541 }}</cite>.
*{{planetmath reference|id=3976|title=紧致开拓扑|urlname=compactopentopology}}

[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:函数空间的拓扑]]