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{{refimprove|time=2016-12-20T01:08:47+00:00}}
在[[数学]]分支[[泛函分析]]中，一个'''紧算子'''({{lang-en|Compact operator}})是从[[巴拿赫空间]]''X''到另一个巴拿赫空间''Y''的[[线性映射|线性算子]]''L''，使得在''L''的作用下''X''的任意有界子集的像集是''Y''的[[相对紧]]子集。这样的算子必然是[[有界算子]]，因此是连续的。

任意有限[[秩 (线性代数)|秩]]的有界算子''L''是紧算子；事实上，紧算子是[[有限秩算子]]在无限维情形下的自然推广。当''Y''是[[希尔伯特空间]]时，任意紧算子都是有限秩算子的极限，因此紧算子集合可以被替换地定义为有限秩算子在[[算子范数]]意义下的闭包。这一性质对于巴拿赫空间（渐进性）是否成立是多年来未解决的问题；最后[[Per Enflo]]给出了一个反例。

紧算子理论的起源于[[积分方程]]理论，积分算子给出这样算子的具体例子。 典型的[[Fredholm积分方程]]给出[[函数空间]]上的紧算子''K''；紧性由[[等度连续|等度连续性]]得出。利用有限秩算子近似是数值求解这种方程的基本方法。[[Fredholm算子]]的抽象概念也由此得出。

== 等价描述 ==
[[有界算子]]''T:X→Y''是紧的，当且仅当以下任一项为真
* ''X''中的闭单位球在''T''下的像在''Y''中[[相对紧]]。
* 任意有界集在''T''下的像''在''Y中[[相对紧]]。
* 任意有界集在''T''下的像在''Y''中是[[完全有界]]的。
* 存在0点的[[邻域]]，<math>U\subset X</math>，以及紧集<math> V\subset Y</math>使得<math>T(U)\subset V</math>。
* 对于''X''中单位球中的任意序列<math>(x_n)_{n\in \mathbb N}</math>，序列<math>(Tx_n)_{n\in\mathbb N}</math>包含一个[[柯西序列|柯西子序列]]。
注意到如果线性算子是紧的，那么很容易得出它是有界的，因此也是连续的。

== 重要性质 ==
在下文中，''X''、''Y''、''Z''、''W''是巴拿赫空间，B(''X'',''Y'')是从''X''到''Y''赋有[[算子范数]]的有界算子空间，K(''X'',&nbsp;''Y'')是从''X''到''Y''的紧算子空间，B(''X'')&nbsp;= B(''X'',&nbsp;''X'')， K(''X'')&nbsp;= K(''X'',&nbsp;''X'')，<math>id_X</math>是''X''上的[[恆等函數|恒等算子]]。
* K(''X'',''Y'')是B(''X'',''Y'')的闭子空间：令''T''<sub>''n''</sub>，''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N'''，是从一个巴拿赫空间到另一个巴拿赫空间的紧算子序列，假设''T''<sub>''n''</sub>依[[算子范数]]收敛于''T''。那么''T''也是紧的。
* 相反的，如果''X''、''Y''是希尔伯特空间，则从''X''到''Y''的每个紧算子都是有限秩算子的极限。值得注意的是，这对于一般的巴拿赫空间''X''和''Y''是错误的。
* <math>B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z)</math>。特别地，K(''X'')是B(''X'')中的双边[[理想 (环论)|理想]]。
* <math>id_X</math>是紧的当且仅当''X''是有限维空间。
* 对于任意''T''&#x2208;K(''X'')，<math>id_X - T</math>是指标为0的[[Fredholm算子]]。特别地，<math>\operatorname{im}\,(id_X - T)</math>是闭的。这对于研究紧算子的谱性质至关重要。可以注意到这个性质和如下事实之间的相似性：如果''M''和''N''是巴拿赫空间的子空间，其中''M''是闭的并且''N''是有限维的，则''M''+''N''也是闭的。
* 任何紧算子都是[[严格奇异]]的，反之则不然。<ref>N.L. Carothers, ''A Short Course on Banach Space Theory'', (2005) London Mathematical Society Student Texts '''64''', Cambridge University Press.</ref>
* 一个算子是紧的当且仅当其伴随是紧的（Schauder定理）。

== 积分方程理论中的原型 ==
紧算子的一个关键性质是[[Fredholm二择一]]，它断言如下形式线性方程的解的存在性

<math>(\lambda K + I)u=f \, </math>

（其中''K''是紧算子，''f''是给定函数，''u''是要求解的未知函数）的表现和有限维情形非常类似。然后可以得出[[紧算子的谱理论]]，由[[弗里杰什·里斯]]（1918）给出。 它表明在无限维巴拿赫空间上的紧算子''K''的谱或者是包括0点的'''C'''的有限子集，或者是'''C'''的[[可數集|可数无穷]]子集，且包含0点作为其唯一的[[极限点]]。此外，在任一情况下，谱的非零元素是''K''的有限重[[特征向量|特征值]]（所以K-λI对于所有复数λ≠0有有限维[[核 (代数)|核]]）。

紧算子的一个重要例子是[[索伯列夫空间|Sobolev空间]]的[[紧嵌入]]，它与[[Gårding不等式]]和[[Lax-Milgram定理]]可以用于将[[椭圆边值问题]]转换成Fredholm积分方程。<ref name="mclean">William McLean, Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press, 2000</ref>解的存在性和谱性质可以由紧算子理论得出; 特别地，有界区域上的椭圆边界值问题有无穷多的孤立特征值。 由此得出的一个结果是固体只能在由特征值给出的孤立频率下振动，并且总是存在任意高的振动频率。

从巴拿赫空间到自身的紧算子构成空间中所有有界算子的[[域上的代数|代数]]的双边[[理想 (环论)|理想]]。事实上，无限维可分希尔伯特空间上的紧算子构成极大理想，所以[[商代数]]（被称为[[Calkin代数]]）是[[单代数]]。 更一般地，紧算子构成一个[[算子理想]]。

== 希尔伯特空间上的紧算子 ==
在希尔伯特空间上紧算子的等价定义可以如下给出。

无限维[[希尔伯特空间]]<math>\mathcal{H}</math>上的算子<math>T</math>
: <math>T:\mathcal{H} \to \mathcal{H}</math>
被认为是紧的，如果它可以写成如下形式
: <math>T = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n \langle f_n, \cdot \rangle g_n\,</math>，
其中<math>f_1,f_2,\ldots</math>和<math>g_1,g_2,\ldots</math>是（不必要完备）标准正交基，且<math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots</math>是极限为零的正数序列，被称为算子的[[奇异值分解|奇异值]]。奇异值只可能在零点[[极限点|聚集]]。 如果序列固定在零点，即<math>\lambda_{N+k}=0</math>对某个<math>N \in \N,</math>和所有<math>k = 1,2,\dots</math>，则算子有有限秩（也即有有限维值域），且可以写作
: <math>T = \sum_{n=1}^N \lambda_n \langle f_n, \cdot \rangle g_n\,</math>。
尖括号<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>是希尔伯特空间上的标量积;右边的和依算子范数收敛。

紧算子的一个重要子类是迹类算子（或被称为[[核型算子]]）。

== 全连续算子 ==
令''X''和''Y''是巴拿赫空间。一个有界线性算子''T'':''X'' →''Y''被称为是'''全连续的'''，如果对于''X''中任意[[弱收敛序列]]<math>(x_n)</math>，序列<math>(Tx_n)</math>在''Y''中依范数收敛{{Harvard citation|Conway|1985|loc=§VI.3}}。巴拿赫空间上的紧算子总是全连续的。如果''X''是一个[[自反空间|自反巴拿赫空间]]，则每个全连续算子''T'':''X''→''Y''是紧的。

有点容易混淆的是，紧算子在旧的文献中有时被称为“全连续的”，即使在今天的术语中它们不一定是全连续的。

== 例子 ==
* 所有有限秩算子都是紧的。
* 对于<math>\ell^p</math>和收敛到零的序列''(t<sub>n</sub>)''，乘法算子''(Tx)<sub>n</sub>=t<sub>n</sub>x<sub>n</sub>''是紧的。
* 对某个固定的''g''∈''C''([0,1];'''R'''),定义从''C''([0,1];'''R''')到''C''([0,1];'''R''')的算子如下
:: <math>(Tf)(x) = \int_0^x f(t)g(t) \, \mathrm{d} t.</math>

: 由[[阿尔泽拉－阿斯科利定理]]可知算子T是紧的。
* 更一般地，如果Ω是'''R'''<sup>''n''</sup>中的任意集合，并且积分核''k'':Ω&#xD7;Ω→'''R'''是[[希尔伯特-施密特核]]，则''L''<sup>2</sup>(Ω;'''R''')上的算子''T''如下定义
:: <math>(T f)(x) = \int_{\Omega} k(x, y) f(y) \, \mathrm{d} y</math>

: 是一个紧算子。
* 由[[Riesz引理]]，恒等算子是一个紧算子当且仅当空间是有限维的。

== 另请参阅 ==
* {{link-en|紧算子的谱理论|Spectral theory of compact operators}}
* {{link-en|Fredholm算子|Fredholm operator}}
* {{link-en|Fredholm积分方程|Fredholm integral equation}}
* {{link-en|Fredholm二择一|Fredholm alternative}}
* {{link-en|紧嵌入|Compact embedding}}
* {{link-en|严格奇异算子|Strictly singular operator}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{Cite book|title=A course in functional analysis|url=https://archive.org/details/courseinfunction0000conw_s3z8|last=Conway|first=John B.|publisher=Springer-Verlag|year=1985|isbn=3-540-96042-2|ref=harv|postscript=<!--None-->}}
* {{Cite book|title=An introduction to partial differential equations|last=Renardy, Michael|last2=Rogers, Robert C.|publisher=Springer-Verlag|year=2004|isbn=0-387-00444-0|edition=Second|series=Texts in Applied Mathematics 13|location=New York|page=356}} (Section 7.5)
* {{Cite book|title=Fundamentals of Functional Analysis|url=https://archive.org/details/fundamentalsfunc00kuta|last=Kutateladze, S.S.|publisher=Springer-Verlag|year=1996|isbn=978-0-7923-3898-7|edition=Second|series=Texts in Mathematical Sciences 12|location=New York|page=[https://archive.org/details/fundamentalsfunc00kuta/page/n292 292]}}
[[Category:算子理论]]
{{泛函分析}}