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若[[質數]]<math>p</math>為'''索菲·熱爾曼質數'''，則<math>2p+1</math>亦為質數。與索菲·熱爾曼質數p相聯繫之質數<math>2p+1</math>則稱之為[[安全素数|-{zh-cn:安全素数;zh-tw:安全質數}-]]。舉例來說，29為一索菲·熱爾曼質數，2×29+1=59則為其對應的安全質數。[[索菲·熱爾曼]]證明了[[費馬最後定理]]對於這類質數為真。且若<math>x,y,z</math>均為整數，在<math>x^p + y^p = z^p</math>這式子內，必有一項能被<math>2p+1</math>整除。

是否存在無限個索菲熱爾曼質數仍屬猜想。

從1到10000共有190個索菲熱爾曼質數{{OEIS|id=A005384}}：
{| class="wikitable"
|[[2]] ||[[3]] ||[[5]] ||[[11]] ||[[23]] ||[[29]] ||[[41]] ||[[53]] ||[[83]] ||[[89]] ||[[113]] ||[[131]]
|-
|[[173]] ||[[179]] ||[[191]] ||[[233]] ||[[239]] ||[[251]] ||[[281]] ||[[293]] ||[[359]] ||[[419]] ||[[431]] ||[[443]]
|-
|491 ||509 ||593 ||641 ||653 ||659 ||683 ||719 ||743 ||761 ||809 ||[[911]]
|-
|953 ||1013 ||1019 ||1031 ||1049 ||1103 ||1223 ||1229 ||1289 ||1409 ||1439 ||1451
|-
|1481 ||1499 ||1511 ||1559 ||1583 ||1601 ||1733 ||1811 ||1889 ||1901 ||1931 ||1973
|-
|2003 ||2039 ||2063 ||2069 ||2129 ||2141 ||2273 ||2339 ||2351 ||2393 ||2399 ||2459 
|-
|2543 ||2549 ||2693 ||2699 ||2741 ||2753 ||2819 ||2903 ||2939 ||2963 ||2969 ||3023
|-
|3299 ||3329 ||3359 ||3389 ||3413 ||3449 ||3491 ||3539 ||3593 ||3623 ||3761 ||3779
|-
|3803 ||3821 ||3851 ||3863 ||3911 ||4019 ||4073 ||4211 ||4271 ||4349 ||4373 ||4391
|-
|4409 ||4481 ||4733 ||4793 ||4871 ||4919 ||4943 ||5003 ||5039 ||5051 ||5081 ||5171
|-
|5231 ||5279 ||5303 ||5333 ||5399 ||5441 ||5501 ||5639 ||5711 ||5741 ||5849 ||5903
|-
|6053 ||6101 ||6113 ||6131 ||6173 ||6263 ||6269 ||6323 ||6329 ||6449 ||6491 ||6521
|-
|6551 ||6563 ||6581 ||6761 ||6899 ||6983 ||7043 ||7079 ||7103 ||7121 ||7151 ||7193
|-
|7211 ||7349 ||7433 ||7541 ||7643 ||7649 ||7691 ||7823 ||7841 ||7883 ||7901 ||8069
|-
|8093 ||8111 ||8243 ||8273 ||8513 ||8663 ||8693 ||8741 ||8951 ||8969 ||9029 ||9059
|-
|9221 ||9293 ||9371 ||9419 ||9473 ||9479 ||9539 ||9629 ||9689 ||9791
|}

==已发现的最大的索菲·熱爾曼質數==
{{link-en|PrimeGrid計劃|PrimeGrid}}於2016年3月發現了截至目前為止最大的索菲·熱爾曼質數，2618163402417×2<sup>1290000</sup> − 1，此數共有388342位。<ref>{{Cite web |url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121330 |title=The Prime Database: 2618163402417×2<sup>1290000</sup> - 1 |access-date=2016-06-07 |archive-date=2021-04-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210423095647/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121330 |dead-url=no }}</ref>

==特性==
索菲熱爾曼質數永不會以7為個位數。證明：

:[[反證法]]：假設存在個位數為7的質數''p''，將它表達成''p''=10''k''+7。根據索菲熱爾曼質數的性質，<math>2p+1</math>亦是質數，但<math>2p+1=2(10k+7)+1=20k+15=5(4k+3)</math>，<math>2p+1</math>能被5整除，而且大於5，所以，是[[合成數]]，矛盾。

==和梅森數的關係==
若<math>p > 3</math>，<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>，且p為索菲熱爾曼質數，2p+1是[[梅森數]]<math>M_p</math>的[[因數]]。
==出現頻率==
1922年，[[戈弗雷·哈罗德·哈代|哈代]]和[[約翰·恩瑟·李特爾伍德|李特爾伍德]]，猜測了以下估計索菲熱爾曼質數頻率的公式：
::<math>{2Cx \over \ln^2(x)}</math>
:且<math>C \approx 0.6601618158</math>，C是[[孿生質數常數]]。

==坎寧安鏈==
數列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非熱爾曼質數稱為第一類[[坎寧安鏈]]。除了首尾之外，這個數列中的項均同時為索非熱爾曼質數和[[安全質數]]。

==參考==
* http://goodprimes.eu5.org/TSophie1.htm {{Wayback|url=http://goodprimes.eu5.org/TSophie1.htm |date=20190715210118 }}
* http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html |date=20210428021907 }}

{{質數}}
[[Category:素数]]