查看“︁索末菲展开”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=P
|zh-cn:变量; zh-tw:變數;
}}
'''索末菲展开'''是由[[阿諾·索末菲|阿诺德·索末菲]]发展的一种[[近似]]计算方法，专门用于计算在[[凝聚态物理]]和[[统计物理]]中出现的一类特定的[[积分]]。在物理中，这类积分表示的是采用[[费米-狄拉克统计|费米-狄拉克分布]]计算的统计平均。

在{{le|热力学beta|Thermodynamic beta}}的值较大的情况下，我们可以把以下形式的积分关于<math>\beta</math>展开为：<ref>{{Harvnb|Ashcroft & Mermin|1976|p=760}}.</ref><ref><cite class="citation web">Fabian, J. [http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/fabian/pages/mainframes/teaching/teaching_files/files%20of%20mf_statistical_physics/Sommerfeld.pdf "Sommerfeld's expansion"] {{Wayback|url=http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/fabian/pages/mainframes/teaching/teaching_files/files%20of%20mf_statistical_physics/Sommerfeld.pdf |date=20191104192752 }} (PDF). </cite></ref>
: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2H^\prime(\mu) + O \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4</math>
上式即为'''索末菲展开'''的一般形式。其中<math>H(\varepsilon)</math>表示一个任意函数，<math>H^\prime(\mu)</math>表示<math>H(\varepsilon)</math>在 <math>\varepsilon = \mu</math> 处的导数；<math>O(x^n)</math>指<math>x</math>的n阶最小量（参见[[大O符号]]），表示此展开中所有不大于<math>x^n</math>的项。只有当<math>H(\varepsilon)</math>在<math>\varepsilon \rightarrow  -\infty</math>时趋向于零，且<math>\varepsilon \rightarrow +\infty</math>时<math>H(\varepsilon)</math>的增长速度不快于任意多项式，我们才能运用这个展开做近似计算。

== 在自由电子模型中的应用 ==
此类积分常常在计算固体的自由电子模型时出现。在这些计算中，上述积分表示的是<math>H(\varepsilon)</math>的期望值。通过计算这些积分，我们可以进一步确定 <math>\beta</math> 和[[化学势|化学势 <math>\mu</math> ]]的关系。

考虑在一给定空间中相互独立运动且处于[[热力学平衡]]的一群[[全同粒子]]。如果这群粒子满足[[泡利不相容原理]]，能量为 <math>\varepsilon</math> 的单粒子量子态的{{le|占据概率|Probability of occupation}}遵循费米-狄拉克分布： 
:<math>f(\varepsilon, \mu, T) = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}</math> <ref>{{Harvnb|Grosso|2014|p=112}}.</ref>

假设 <math>D(\varepsilon)</math> 为单粒子的[[状态密度]]，N为[[导带]]电子的总数。则
:<math>N = \int_{-\infty}^\infty D(\varepsilon)f(\varepsilon, \mu, T)\mathrm{d}\varepsilon</math>

对于任意的状态密度函数<math>D(\varepsilon)</math>，我们可能无法直接计算出此积分。但如果我们应用索末菲展开，我们可以得到以下近似结果：
: <math>N = \int_{-\infty}^\mu D(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2D^\prime(\mu) + O \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4</math>

对于[[费米气体|自由电子气体]]，我们有<math>D(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1/2}</math>。由此经过一系列计算，我们可以得到：

:<math>\mu(T) = \mu_{0}[1 - \frac{\pi^2}{12}\left(\frac{1}{\mu_{0}\beta}\right)^2]</math> <ref>{{Harvnb|Grosso|2014|p=116}}.</ref>

其中<math>\mu_{0} = \mu(T = 0)</math>。

根据此近似计算所需的假设，索末菲展开常被用于对低温系统的近似计算。

== 索末菲展开的推导 ==
在此章节中，我们需要对我们研究的积分关于<math>\tau^2</math>作二阶展开，其中<math>\beta ^{{-1}}=\tau =k_{B}T</math>是温度和[[波茲曼常數|玻尔兹曼常数]]的乘积。

我们先作变量代换<math>\tau x=\varepsilon -\mu</math>：
: <math>I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \tau\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x \,</math>
将积分范围划分成两部分，<math>I=I_{1}+I_{2}</math>，并对<math>I_{1}</math>作变量代换<math>x\rightarrow -x</math>:
: <math>I= \underbrace{\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_1} + 
                \underbrace{\tau\int_{0}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_2}\,</math>

: <math>I_1=\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x
=\tau\int_0^\infty \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{-x} + 1}\,\mathrm{d}x\, </math>
接下来，通过使用以下等式
: <math>\frac{1}{e^{-x}+1} = 1-\frac{1}{e^x+1}\,,</math>
<math>I_{1}</math>可被化为下述形式：
: <math>I_1=\tau\int_{0}^\infty H(\mu-\tau x)\,\mathrm{d}x
-\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\, </math>
再对第一项作变量代换<math>-\tau {\mathrm  {d}}x={\mathrm  {d}}\varepsilon</math> 将<math>x</math>变换回原来的变量。结合<math>I=I_{1}+I_{2}</math>，我们可以得到：
:<math>I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\, </math>
若 <math>\tau</math> 足够小，<math>H(\varepsilon )</math>足够平滑，第二项的分子可以被如下近似到第一阶导数：
: <math>\Delta H= H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x) \approx 2\tau x H'(\mu)+\cdots \, ,</math>
代入前式可得：
:<math>I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+2\tau^2 H'(\mu)\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}\,</math>
已知第二项定积分的值为<ref><cite class="citation web">[http://www.sosmath.com/tables/integral/integ38/integ38.html "Definite integrals containing exponential functions"] {{Wayback|url=http://www.sosmath.com/tables/integral/integ38/integ38.html |date=20210125044053 }}. </cite></ref> ：
: <math>\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}=\frac{\pi^2}{12}</math>.
因此，
:<math>I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon \approx\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+\frac{\pi^2}{6\beta^2} H'(\mu)\,</math>

== 母函数 ==
费米分布的[[矩 (數學)|矩]]的[[母函数]]是：
: <math>
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\epsilon}{2\pi} e^{\tau\epsilon/2\pi} \left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}= \frac 1{\tau}\left\{ \frac{(\frac{\tau T}{2})}{\sin(\frac{\tau T}{2})} e^{\tau\mu/2\pi}-1\right\}, \quad 0<\tau T/2\pi< 1.
</math> 
这里，<math>{\displaystyle k_{\rm {B}}T=\beta ^{-1}}</math>，且我们通过减去一个单位阶跃函数<math>{\displaystyle \theta (-\epsilon )}</math> 去掉了温度为零的情况下发散的函数值。关于<math>\tau</math>，计算其各次展开后可以得到以下结果：<ref name="loga">{{Cite journal|title=Anomaly/Transport in an Ideal Weyl gas|author=R. Loganayagam, P. Surówka|journal=JHEP.|doi=10.1007/JHEP04(2012)097|year=2012|volume=04|page=2012:97|arxiv=1201.2812|bibcode=2012JHEP...04..097L}}</ref>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\left(\frac{\mu}{2\pi}\right),
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2+\frac{T^2}{4!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{2!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^2\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)\frac{T^2}{4!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac1{3!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^3\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4+\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2\frac{T^2}{4!}+\frac 78\frac{T^4}{6!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{4!} \left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^4\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{5!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^5+\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3\frac{T^2}{4!}+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right) \frac 78\frac{T^4}{6!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{5!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^5\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}=\frac{1}{6!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^6+\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4\frac{T^2}{4!}+\frac{1}{2!} \left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2 \frac 78\frac{T^4}{6!}+ \frac{31}{24} \frac{T^6}{8!}.
</math>


对于[[玻色–爱因斯坦统计|玻色函数]]的奇矩（odd moment），我们有相似的母函数：<math>
\int_0^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\sinh(\epsilon \tau/\pi)  \frac {1}{e^{\beta\epsilon}-1}
= \frac 1{4\tau}\left\{1- \frac{\tau T}{\tan \tau T}\right\}, \quad 0< \tau T<\pi 
</math>

== 注释 ==
<references />

== 参考文献 ==
*{{Cite journal| first1 = A.| title = Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik| journal = Zeitschrift für Physik| last1 = Sommerfeld| volume = 47| pages = 1–3| year = 1928| doi = 10.1007/BF01391052|bibcode = 1928ZPhy...47....1S }}
*{{Cite document| last1 = Ashcroft | first1 = Neil W. | last2 = Mermin | first2 = N. David | authorlink2 = David Mermin | title = Solid State Physics | page = 760 | publisher = Thomson Learning | date = 1976 | isbn = 978-0-03-083993-1| ref = harv| postscript = <!--None-->}}

[[Category:粒子统计学]]
[[Category:量子场论]]
[[Category:统计力学]]
[[Category:凝聚体物理学]]