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[[数学]]上，一个'''索伯列夫空间'''是一个由[[函数]]组成的[[賦範向量空間]]。对于某个给定的''p'' ≥ 1，索伯列夫空间的[[范数]]是[[函数]]''f'' 的''k''阶[[导数]]和函数''f'' 的[[有限]][[Lp空间|''L<sup>p</sup>''范数]]的结合。

索伯列夫空间以[[苏联]][[数学家]][[舍蓋·索伯列夫]]来命名。它的重要性体现在一些[[偏微分方程]]的[[弱解]]在特定的索伯列夫空间存在，即使该偏微分方程在具有经典导数定义的连续[[函数空间]]不存在强解。

== 简介 ==

对于数学[[函数]]的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函数要[[连续函数|连续]]，更進一步的要求是[[可微]]（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为<math>C^1</math> — 参看[[光滑函数]]）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在[[微分方程]]中。在二十世纪，人们发现<math>C^1</math>函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索伯列夫空间正是<math>C^1</math>空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。

== 技术性讨论 ==
我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始，也就是[[单位圆]]上的一维情况。在这个情况下，索伯列夫空间<math>W^{k,p}</math>定义为[[Lp 空间|''L''<sup>p</sup>]]的子集，使得''f''和它的直到''k''阶的[[导数]]有一个有限的[[Lp范数|''L''<sup>p</sup>范数]]，对于某个给定的''p'' ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设<math>f^{(k-1)}</math>是几乎处处可微并且等于其导数的[[勒贝格积分]]（这可以排除[[康托函数]]这样的例子）就足够了。

按照这个定义，索伯列夫空间有一个自然的[[范数]],

:<math>\|f\|_{k,p}= \Big(\sum_{i=0}^k\|f^{(i)}\|_p^p\Big)^{1/p} =  \Big(\sum_{i=0}^k \int |f^{(i)}(t)|^p\,dt \Big)^{1/p}.</math>

赋予了范数<math>\|\cdot\|_{k,p}</math>的<math>W^{k,p}</math>是一个[[完备空间]]。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数 

:<math>\|f^{(k)}\|_p + \|f\|_p</math>

和上述范数[[范数|等价]]。

=== 例子 ===
有些索伯列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况，<math>W^{1,1}</math>就是[[绝对连续性|绝对连续函数]]空间，而''W''<sup>1,∞</sup>是[[李普希兹函数]]空间。还有，<math>W^{k,2}</math>可以自然地用其[[傅立叶级数]]的术语定义，也就是

:<math>W^{k,2}({\mathbb T}) = \Big\{ f\in L^2({\mathbb T}):\sum_{n=-\infty}^\infty (1+n^2 + \dotsb + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2 < \infty\Big\}</math>

其中<math>\widehat{f}</math>是''f''的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数

:<math>\|f\|^2=\sum_{n=-\infty}^\infty (1 + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2.</math>

两个表达都可以从[[帕塞瓦尔定理]]以及微分等价于傅立叶系数乘以''in''这个事实导出。这个特殊情况很重要，因此有一个特别的符号，<math>H^k</math>:

:<math>\,H^k = W^{k,2}.</math>

== 非整数''k''的索伯列夫空间 ==
为避免混淆，在讨论不是[[整数]]的''k''的时候，我们通常用''s''来取代它，也即<math>W^{s,p}</math>或者<math>H^s</math>。

=== ''p'' = 2的情形 ===

''p'' = 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

:<math>||f||^2_{2,s}=\sum (1+n^{2s})|\widehat{f}(n)|^2</math>

而索伯列夫空间<math>H^s</math>为具有有限范数的函数的空间。

=== 分数阶微分 ===

如果''p''不是2，就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个[[分数阶微分]]的[[算子]]其阶为s，如下所示
:<math>F^s(f)=\sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s\widehat{f}(n)e^{int}</math>

换句话说，取傅立叶变换，乘以<math>(in)^s</math>再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为[[乘子 (傅立叶分析)|乘子]]，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义<math>s,p</math>的索伯列夫范数如下

:<math>\,\Vert f\Vert_{s,p}=\Vert f\Vert_p+ \Vert F^s(f)\Vert_p</math>

而且，跟平常一样，索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。

=== 复插值 ===
获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用[[复插值]]。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间''X''及''Y''，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[''X'',''Y'']<sub>''t''</sub>。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义）。


这样的空间''X''和''Y''称为插值对。

下面提一些关于复插值的有用的定理：

''定理 (插值): ''[ [''X,Y'']<sub>''a''</sub> , [''X,Y'']<sub>''b''</sub> ]<sub>''c''</sub> = [''X,Y'']<sub>''cb''+(1-''c'')''a''</sub>.

''定理 (算子的插值): 若''{''X,Y''}''和''{''A,B''}''是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X''+''Y到A''+''B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从''[''X,Y'']''<sub>t</sub>到''[''A,B'']''<sub>t</sub>上连续。并且有如下的插值不等式：''

<math>||T||_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^t.</math>

参看: [[Riesz-Thorin定理]]。

回到索伯列夫空间上来，我们要通过对几个<math>W^{k,p}</math>的插值得到非整数''s''的<math>W^{s,p}</math>。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有

''定理: <math>\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p}</math>，如果n是一个整数使得n=tm。''

因此，复插值是一个得到一个空间<math>W^{k,p}</math>之间的空间<math>W^{s,p}</math>的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看[[#延拓算子|延拓算子]]中的一个变化）。

== 多维情况 ==
现在考虑在'''R'''<sup>''n''</sup>及其子集上的索伯列夫空间。从圆到[[线]]的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将[[傅立叶级数]]变为[[傅立叶变换]]，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。<math>f^{(k-1)}</math>是<math>f^{(k)}</math>的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑[[分布理论]]意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令''D''为'''R'''<sup>n</sup>中开集。定义索伯列夫空间

:<math>\,W^{k,p}(D)</math>

为定义于''D''上的函数''f''的族，使得对于满足下式的每个[[多重索引]]<math>\alpha</math>
:<math>|\alpha|\leq k</math>

<math>f^{(\alpha)}</math>是一个函数，且

:<math>||f^{(\alpha)}||_p < \infty.</math>

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些''L<sup>p</sup>''范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。

实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面[[#分数阶微分|分数阶微分]]中所述并无多大区别。

=== 例子 ===

在多维情况，有些结果不再成立，例如，<math>W^{1,1}</math>只包含连续函数。例如，1/|''x''|属于<math>W^{1,1}(B^3)</math>，其中<math>B^3</math>是三维的单位球。对于足够大的''k''，<math>W^{k,p}(D)</math>将只包含连续函数，但是对于哪个''k''才够取决于''p''以及维数这二者。

但是，''W''<sup>1,∞</sup>和<math>W^{k,2}</math>的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

== 索伯列夫嵌入 ==

索伯列夫空间<math>W^{k,p}(\mathbb{R}^n)</math>是<math>L^p(\mathbb{R}^n)</math>的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的[[Lp空间|''L<sup>p</sup>''空间]]包含<math>W^{k,p}(\mathbb{R}^n)</math>？[[索博列夫不等式#Sobolev嵌入定理|索伯列夫嵌入定理]]给出一个简单的表达（参看<ref>Stein, E.， 《奇异积分和函数的可微性》（Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions），''普林斯顿大学出版社'' (1970年)。 ISBN 0-691-08079-8</ref>）:

''定理:令<math>k,n\in\mathbb{Z}_{>0}</math>且<math>1\leq p\leq\infty</math>。则如下命题成立:''
# ''若<math>\frac{1}{p}>\frac{k}{n}</math>则<math>W^{k,p}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^{\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{k}{n}}}(\mathbb{R}^n)</math>（作为集合）。而且，包含关系是一个[[有界算子]]。''
# ''若<math>\frac{1}{p}=\frac{k}{n}</math> 则所有有[[紧支撑]]的函数<math>f\in W^{k,p}(\mathbb{R}^n)</math>是<math>L^q(\mathbb{R}^n)</math>的元素，其中<math>q<\infty</math>。''

== 迹 ==

令''s'' > &frac12;。若''X''为开集，使得其[[边界]] ''G''"足够光滑"，则我们可以定义映射''P''的''迹''（也即，''限制'')如下

:<math>Pu=u|_G,</math>

也即，''u''限制到边界''G''上。一个可能的光滑条件是一致<math>C^m</math>， ''m'' ≥ ''s''。 （但是注意，这个[[矩阵迹]]没有关系。）

这个迹映射''P''其定义域为<math>H^s(X)</math>，而其像正好是<math>H^{s-1/2}(G)</math>。如果要完全形式化，''P''首先定义在[[无穷可微函数]]上，并且通过连续性扩展到整个<math>H^s(X)</math>。注意取迹'失去了半个导数'。

确定<math>W^{s,p}</math>的迹映射的像要困难很多，需要使用实插值这个工具，在此不具体讨论。其最后的结果是[[Besov空间]]。事实上，在<math>W^{s,p}</math>空间的情形，我们不是失去半个导数，我们失去了1/''p''个导数。

== 延拓算子 ==

若''X''是开域，其边界不是太不良（例如，如果其边界为流形，或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”）则存在一个算子''A''将''X''的函数到'''R'''<sup>''n''</sup>的函数，使得：

# ''Au(x) = u(x)'' 对于几乎所有''X''中的''x''以及
# ''A''连续，从<math>W^{k,p}(X)</math>到<math>W^{k,p}({\mathbb R}^n)</math>，对于任何1 ≤ ''p'' ≤ ∞ 以及整数''k''。

我们称算子''A''为''X''的延拓算子。

延拓算子是最自然的定义非整数''s''的<math>H^s(X)</math>方法（我们不能直接在''X''进行，因为取傅立叶变化是一个整体操作）。我们定义<math>H^s(X)</math>为：''u''属于<math>H^s(X)</math>当且仅当''Au''属于<math>H^s(\mathbb R^n)</math>。等价的有，复插值产生同样的<math>H^s(X)</math>空间只要''X''存在一个延拓算子。如果''X''没有一个延拓算子，复插值是唯一取得<math>H^s(X)</math>空间的办法。

因此，插值不等式仍然成立。

=== 用零延拓 ===
我们定义<math>H^s_0(X)</math>为无穷可微紧支撑函数的空间<math>C^\infty_c(X)</math>在<math>H^s(X)</math>中的闭包。给定一个迹的定义如上，我们可以给出如下命题

''定理：令X为一致C<sup>m</sup>正规空间，m ≥ s并令P为线性映射，将<math>H^s(X)</math>中的u映射到''

:<math>\left.\left(u,\frac{du}{dn},...,\frac{d^k u}{dn^k}\right)\right|_G</math>

''其中d/dn是垂直于G的导数，而k是最大的小于s的整数。则<math>H^s_0</math>正好是P的核。''

若<math>u\in H^s_0(X)</math>，我们可以一种自然的方式定义它的零延拓<math>\tilde u \in L^2({\mathbb R}^n)</math>，也就是 

:<math>\tilde u(x)=u(x)</math>若<math>x \in X</math>，否则<math>\tilde u(x)=0</math>。

''定理：令s>&frac12;。将u变为<math>\tilde u</math>的映射是到<math>H^s({\mathbb R}^n)</math>中的连续映射，当且仅当s不是形为n+&frac12;（对于某个整数n）。''

== 参考 ==

<references />

{{泛函分析}}

[[Category:泛函分析|S]]
[[Category:拓扑向量空间|S]]