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{{for|[[序理论]]中的素理想|理想 (序理论)}}
在[[数学]]中，'''素理想'''（Prime ideal）是环的一个[[子集]]，与[[整数环]]中的[[素数]]共享许多重要的性质。

==正式定义==
* 环''R''的[[理想 (环论)|理想]]''P''是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，''P'' ≠ ''R''），且对于''R''的任何两个理想''A''和''B''，若有''AB'' ⊆ ''P''，则''A'' ⊆ ''P''或''B'' ⊆ ''P''。

==交换环的素理想==
素理想对[[交换环]]有一个较简单的描述：设''R''是一个交换环，如果它具有以下两个性质,那么''R''的理想''P''是素理想：
* 只要''a''，''b''是''R''的两个元素，使得它们的乘积''ab''位于''P''内，那么要么''a''位于''P''内，要么''b''位于''P''内。 
* ''P''不等于整个环''R''。
这推广了素数的以下性质：如果''p''是一个素数，且''p''能整除两个[[整数]]的乘积''ab''，那么''p''要么能整除''a''，要么能整除''b''。因此，我们可以说：
:正整数''n''是素数，当且仅当理想''n'''''Z'''是'''Z'''的素理想。

===例子===
* 如果''R''表示[[复数 (数学)|复]]系数二元[[多项式]]环'''C'''[''X'', ''Y'']，那么由多项式''Y''<sup>2</sup> &minus; ''X''<sup>3</sup> &minus; ''X'' &minus; 1生成的理想是素理想（参见[[椭圆曲线]]）。
* 在整系数多项式环'''Z'''[''X'']中，由2和''X''生成的理想是素理想。它由所有常数项为偶数的多项式组成。
* 在任何环''R''中，'''极大理想'''是一个理想''M''，它是''R''的所有真理想的集合中的[[极大元]]，也就是说，''M''[[子集|包含]]在''R''的正好两个理想内，即''M''本身和整个环''R''。每一个极大理想实际上是素理想；在[[主理想整环]]中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。
* 如果''M''是光滑[[流形]]，''R''是''M''上的光滑函数环，而''x''是''M''中的一个点，那么所有满足''f''(''x'') = 0的光滑函数''f''形成了''R''内的一个素理想（甚至是极大理想）。

===性质===
* 交换环''R''中的理想''I''是素理想，当且仅当[[商环]]''R/I''是[[整环]]。
* 环''R''的理想''I''是素理想，当且仅当''R'' \ ''I''在乘法运算下封闭。
* 每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是[[克鲁尔定理]]的一个直接结果。
* 一个交换环是[[整环]]，当且仅当{0}是一个素理想。
* 一个交换环是[[域 (數學)|體]]，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。
* 一个素理想在[[环同态]]下的[[原像]]是素理想。
* 两个素理想的和不一定是素理想。例如，考虑环<math> \mathbb{C}[x,y] </math>，它的素理想为P = (x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - 1)和Q = (x)（分别由x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - 1和x生成）。然而，它们的和P + Q = (x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - 1 , x) = (y<sup>2</sup> - 1 , x)不是素理想。注意商环具有零因子意味着不是整环，因此P + Q不能是素理想。

==非交换环的素理想==
如果''R''是[[环 (代数)|非交换环]]，那么''R''的理想''P''是素理想，如果它具有以下两个性质：

* 只要''a''，''b''是''R''的两个元素，使得对于''R''的所有元素''r''，它们的乘积''arb''都位于''P''内，那么要么''a''位于''P''内，要么''b''位于''P''内。
* ''P''不等于整个环''R''。

对于交换环，这个定义等价于前面所述的定义。对于非交换环，这两个定义是不同的。使''ab''位于''P''内意味着''a''或''b''位于''P''内的理想称为'''完全素理想'''。完全素理想是素理想，但反过来不成立。例如，''n'' &times; ''n''矩阵环中的零理想是素理想，但不是完全素理想。

===例子===
* 任何[[极大理想]]都是素理想。
* 任何[[本原理想]]都是素理想。
* 任何[[素环]]的零理想都是素理想。

==参考文献==
* {{cite book|author=David S. Dummit and Richard M. Foote |title=Abstract Algebra |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |edition=第三版 |year=2004年 |pages=第255-256页}}

[[Category:理想]]