查看“︁素数的倒数之和”︁的源代码

公元前3世纪，[[欧几里得]]证明了[[素数]]有无穷多个。公元[[十八世纪]]，[[欧拉]]证明了所有素数的[[倒数和发散|倒数之和发散]]。这里给出一些证明。

==证明一==

: <math>\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
= \sum_{p} \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} - \ln(1-p^{-1}) </math>

:<math>= \sum_{p} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right)</math>

:<math>< \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_{p} \frac{1}{p(p-1)} \right)</math> 
:<math>= \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + C</math>

因为当''n''逐渐增大时，前''n''个整数的倒数之和趋近于ln(''n'')，所以

:<math>\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots = \ln \ln (+ \infty).</math>

==证明二==

此证明由[[保罗·埃尔德什]]给出。用[[反证法]]。

假设所有素数的倒数之和收敛：

定义<math>p_i</math>为第''i''个素數，可得到

:<math> \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{k}} = c.</math>

存在一个[[正数|正]][[整数]]''i''使得

:<math> \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{i+k}} < {1 \over 2}.</math>

定义''N''(''x'')为不超过''x''且不能被任何大于第''i''个素数的素数整除的正整数''n''的个数。
设<math>n = km^2</math>，''k''不再含平方因子（任何整数都可以这样）。
由于只有''i''个素数能整除''k''，''k''最多只有<math>2^i</math>种选择。
又因为''m''最多只能取<math>\sqrt{x}</math>个值，可得到：

:<math>N(x) \le 2^i\sqrt{x}\,</math>

不超过''x''且能被某些大于第''i''个素数的素数整除的正整数''n''的个数为''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''N''(''x'')。

因为不超过''x''且能被''p''整除的整数最多有''x''/''p''个，可得到

:<math> x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2},</math>

或

:<math> {x \over 2} < N(x) \le 2^i\sqrt{x}.\, </math>

但这是不可能的。

[[Q.E.D.|证毕]]。

==参见==
*[[素数]]
*[[布朗常数]]
*[[欧拉乘积]]

==外部链接==
* Chris K. Caldwell: "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?", http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml {{Wayback|url=http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml |date=20081122111029 }}
[[Category:数学定理|Z]]
[[Category:數學推理]]
[[Category:级数]]
[[Category:素數]]