查看“︁純態”︁的源代码

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[[FILE:vertical_polarization.svg|right|thumb|200px|從[[白熾燈]]（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為<BR/><center><math>\begin{bmatrix}
 0.5 & 0  \\
 0 & 0.5  \\
\end{bmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span></center><BR/>通過[[偏振镜|垂直平面偏振器]]（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為<BR/><center><math>\begin{bmatrix}
 1 & 0  \\
 0 & 0  \\
\end{bmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span></center>]]
'''純態'''（pure state）這個名詞出現在幾個領域，包括[[物理]]方面的[[量子力學]]以及[[數學]]方面的[[泛函分析]]理論。

== 量子力學 ==

在[[量子力學]]當中，純態由一個相同[[統計]][[系綜]](ensemble)所構成，而相對於純態的[[混態]](mixed state)則可以分解兩個以上的[[系綜]]。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由[[密度矩陣]]或稱[[密度算符]]表示，區分純態和[[混態]]的方法即可由此得之。純態S可用[[狄拉克符号]]的右括向量表示：
:<math>S = | \Psi \rangle </math>
或寫成[[密度矩陣]]表示型則為：
:<math>S = \rho = | \Psi \rangle \langle \Psi |</math>
给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位），<math>| \Psi' \rangle = e^{i \phi} | \Psi \rangle </math>，但对应唯一的[[密度矩阵]]<math>\rho </math>，从这个角度说，[[密度矩阵]]表示更为经济<ref>{S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf {{Wayback|url=https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf |date=20230614042809 }} [Accessed: September 25, 2023]}</ref>。由此推广，可以用[[密度矩阵]]表示定义更一般的态，
:<math>S = \rho = \sum_{i=1}^N c_i | \Psi_i \rangle \langle \Psi_i |</math>
其中，<math>\{ | \Psi_i \rangle \}</math>是一组（不一定互相正交的）纯态，且<math>0 < c_i \leq 1</math>并满足<math>\displaystyle {\textstyle \sum_i} c_i = 1</math>。注意数<math>N</math>并不受[[希尔伯特空间]]维数的限制。

=== 混态 ===
对于[[密度矩阵]]<math>\rho</math>表述的量子态，若其不能写作纯态的[[密度矩阵]]（其中<math>N=1</math>且<math>c_1=1</math>），则称作[[混态]]。

=== 區分純態與混態 ===

區分純態與混態的方法要利用到<math>tr(\rho) \,</math>。<math>tr(\rho) \,</math>表示對矩陣<math>\rho \,</math>取'''對角線元素和'''(trace)，將純態和混態做'''[[歸一化]]'''動作，使得<math>tr(\rho) \,</math>之值皆會是1。

而兩者不同處在於<math>tr(\rho^2) \,</math>：歸一化過的純態<math>tr(\rho^2)=tr(\rho)=1 \,</math>，而歸一化過的混態則<math>tr(\rho^2)<1 \,</math>，和<math>tr(\rho)=1 \,</math>不同，由此得以辨別出純態與混態。

==== 舉例 ====
<math>\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>為純態，<math>\rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>為混態

:<math>\Rightarrow tr(\rho_1)=tr(\rho_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1</math>

<math>\rho_1^2 = \rho_1 * \rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>；
<math>\rho_2^2 = \rho_2 * \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}</math>。

:<math>\Rightarrow tr(\rho_1^2)=tr(\rho_1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1</math>；<math>tr(\rho_2^2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \ne tr(\rho_2) = 1</math>


'''[[量子退相干]]'''現象的過程中，與環境的相互作用會讓[[密度矩陣]]的'''非對角線元素'''(off-diagonal elements)隨時間衰減到0。也就是說在這個例子，隨著時間<math>t \,</math>逐漸增加，原本純態，
:<math>\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} \\ \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow \rho_1(t=0) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>
演化为混态，
:<math> \overset{t \rightarrow \infty}{\to} \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>

== 泛函分析 ==

[[Category:量子力学|C]]
[[Category:量子信息|C]]

==參閱==
*[[密度矩阵]]

== 參考资料 ==
{{reflist|1}}