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|G1=物理學
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{{千禧年难题}}

[[File:False color image of the far field of a submerged turbulent jet.jpg|thumb|right|333px|{{tsl|en|Planar laser-induced fluorescence|平面激光誘導熒光}}的可視化湍流。]]

'''納維-斯托克斯存在性與光滑性'''（{{lang-en|'''Navier–Stokes existence and smoothness'''}}）是有關[[纳维－斯托克斯方程]]（{{lang-en|Navier-Stokes equations}}、{{lang-fr|Équations de Navier-Stokes}}）其解的數學性質有關的數學問題，是美國[[克雷數學研究所]]在2000年提出的7個[[千禧年大獎難題]]中的一個問題。

納維－斯托克斯方程式是[[流體力學]]的重要方程式，可以描述空間中[[流體]]（[[液體]]或[[氣體]]）的運動。納維－斯托克斯方程式的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程式解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程式的解常會包括[[紊流]]。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是[[未解決的物理學問題]]之一。

許多納維－斯托克斯方程式解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未證明若这样的解存在時，其[[動能]]有其上下界，這就是「納維-斯托克斯存在性與光滑性」問題。

由於瞭解納維－斯托克斯方程式被視為是瞭解難以捉摸的紊流現象的第一步，[[克雷數學研究所]]在2000年5月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關資訊的人，而不是給第一個創建紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題<ref name=problem_statement>[http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf Official statement of the problem] {{Wayback|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf |date=20150415042320 }}, Clay Mathematics Institute.</ref>。

{{Quotation|
''證明或反證以下的敘述：''<br>
在三維的空間及時間下，給定一啟始的速度場，存在一向量的速度場及純量的壓強場，為納維－斯托克斯方程式的解，其中速度場及壓強場需滿足[[光滑函數|光滑]]及全局定義的特性。}}

==納維－斯托克斯方程==
{{Main|纳维－斯托克斯方程}}
以數學的觀點來看，纳维－斯托克斯方程是一個針對任意維度向量場的非線性[[偏微分方程]]。在物理及工程的觀點，纳维－斯托克斯方程是一個用[[连续介质力学]]描述液體或非稀疏氣體運動的方程式組。此方程式是以[[牛頓第二運動定律]]為基礎，考慮一[[黏滯性]][[牛頓流體]]的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的体积力。

由於克雷數學研究所提出的問題是以三維空間下，不可壓縮的勻質流體為準，以下也只考慮此條件下的纳维－斯托克斯方程。

令<math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)</math>為描述流體速度的三維向量場，且<math>p(\boldsymbol{x},t)</math>為流體壓強<ref group="note">更精準地說，<math>p(\boldsymbol{x},t)</math>是流體壓強除以流體密度後的商，對於不可壓縮的勻質流體，密度為一定值。</ref>。纳维－斯托克斯方程為：

: <math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)</math>

其中
:<math>\nu>0</math>為動黏滯度
:<math>\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)</math>為外力
:<math>\nabla</math>為[[梯度]]運算子
:<math>\displaystyle \Delta</math>為[[拉普拉斯算子]]，也可寫為<math>\nabla\cdot\nabla</math>

上述方程是向量方程，可以分解為三個純量的方程，將速度及外力分解為三個座標下的分量：

: <math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)</math>

則纳维－斯托克斯方程可寫成以下的形式，<math>i=1,2,3</math>：

: <math>\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t).</math>

其中的未知數有速度<math>\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)</math>及壓強<math>p(\boldsymbol{x},t)</math>。由於只考慮三維空間，因此有三個方程及四個未知數，分別是速度的三個分量及壓強，還需要一個方程才能解出所有的未知數。這個新增的方程是描述流體[[不可壓縮流|不可壓縮性]]的[[連續性方程式]]：

: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0.</math>

由於最後一個方程式，纳维－斯托克斯方程解的速度會是无[[散度]]的向量函數。對於在均勻介質中的无散度流，其密度及動黏滯度為定值。
<!--
若對纳维－斯托克斯方程式的等號二邊分別作旋度運算，可消去壓強''p''梯度的項。此時纳维－斯托克斯方程式可化簡為渦度傳輸方程式。若在二維空間中，上In two dimensions (2D), these equations are well-known <ref name="TCCM">http://lib.prometey.org/?id=15227
Heinbockel J.H. (2001) Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics. Trafford  Publishing ,  ISBN 978-1553691334, p.321</ref>. In three dimensions (3D), it is known for a long time that  Vorticity  transport equations  have additional  terms <ref>Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics. p. 294</ref>. However, why 1D, 2D and 3D Navier–Stokes equations  in the vector form are identical?  In that case, probably, the vorticity-transport equations in the vector form must be identical too.
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==二種條件：無邊界及週期性的空間==
克雷數學研究所提出的納維-斯托克斯問題，有二種不同的條件。原始問題是在整個空間<math>\mathbb{R}^3</math>中，需要有關初始條件及解隨位置變化的額外資訊。為了不要考慮初始條件及解在無窮遠處的特性，納維-斯托克斯方程也可以設定在一個周期性的空間中，因此不需考慮方程在整個空間<math>\mathbb{R}^3</math>，只需考慮方程在一個3維[[環面]]<math>\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3</math>下的特性。以下會分別處理這二種條件下的問題。

==在整個空間下問題的說明==
===假設及無窮遠處特性===

初始條件<math>\mathbf{v}_0(x)</math>假設是[[光滑函數|光滑]]及无散度的函數，使得對於每一個[[多重指標]]<math>\alpha</math>及<math>K>0</math>，存在一常數<math>C=C(\alpha,K)>0</math>（此常數會依<math>\alpha</math>及''K''而變化）使得

: <math>\vert \partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^K}\qquad</math>對於所有<math>\qquad x\in\mathbb{R}^3.</math>

外力<math>\mathbf{f}(x,t)</math>假設也是一個光滑函數，滿足一個非常類似的不等式（此時多重指標也包括時間的導數）：

: <math>\vert \partial^\alpha \mathbf{f}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^K}\qquad</math> 對於所有 <math>\qquad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty).</math>

考慮其實際的物理意義，此條件下的解需是光滑函數，當<math>\vert x\vert\to\infty</math>時不會快速增加。更精準地說，有以下的假設：

# <math>\mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))</math>
# 存在一常數<math>E\in (0,\infty)</math> 使得<math>\int_{\mathbb{R}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E</math> 對於所有的 <math>t\ge 0\,.</math>

條件1表示此函數為光滑、全局定義的函數，條件2表示此解的[[動能]]在全局中有上下界。

===在整個空間中的千禧年大獎難題描述===
'''(A) 在<math>\mathbb{R}^3</math>空間下納維-斯托克斯方程式解的存在性及光滑性'''

令<math>\mathbf{f}(x,t)\equiv 0</math>。對於所有符合上述假設的初始條件<math>\mathbf{v}_0(x)</math>，納維-斯托克斯方程式存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度向量<math>\mathbf{v}(x,t)</math>及壓強<math>p(x,t)</math>滿足上述的條件1及2。

'''(B) <math>\mathbb{R}^3</math>下納維-斯托克斯方程式解存在性的反證'''

存在一初始條件<math>\mathbf{v}_0(x)</math>及外力<math>\mathbf{f}(x,t)</math>使得納維-斯托克斯方程式不存在一解滿足上述條件1及2。

==週期性問題的說明==
===假設===

此處的函數需滿足對於位置變數的週期性，其週期為1。更精準地說，令<math>e_i</math>為''j''方向的單位向量：

: <math>e_1=(1,0,0)\,,\qquad e_2=(0,1,0)\,,\qquad e_3=(0,0,1)</math>

則<math>\mathbf{v}(x,t)</math>對位置變數有週期性也就表示對於任何的<math>i=1,2,3</math>，以下的式子均成立：

: <math>\mathbf{v}(x+e_i,t)=\mathbf{v}(x,t)\text{ for all } (x,t) \in \mathbb{R}^3\times[0,\infty).</math>

因此方程式不是在整個空間，而是在一[[商空間]] <math>\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3</math>，也就是一個3維環面：

: <math>\mathbb{T}^3=\{(\theta_1,\theta_2,\theta_3): 0\le \theta_i<2\pi\,,\quad i=1,2,3\}.</math>

有上述的說明後，可以說明需要的假設。初始條件<math>\mathbf{v}_0(x)</math>假設是一個光滑及无散度的函數，外力也是一個光滑函數。滿足以下的條件：

3. <math>\mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))</math>

4. 存在一常數<math>E\in (0,\infty)</math>使得<math>\int_{\mathbb{T}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E</math>對於所有<math>t\ge 0\,.</math>

和之前的條件類似，條件3表示函數是光滑及全局定義，條件4表示此解的[[動能]]在全局中有上下界。

===週期性的千禧年大獎難題描述===
'''(C)<math>\mathbb{T}^3</math>空間下納維-斯托克斯方程式解的存在性及光滑性'''

令<math>\mathbf{f}(x,t)\equiv 0</math>，對於任何滿足上述假設的初始條件<math>\mathbf{v}_0(x)</math>，納維-斯托克斯方程式存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度向量<math>\mathbf{v}(x,t)</math>及壓強<math>p(x,t)</math>滿足上述的條件3及條件4。

'''(D)<math>\mathbb{T}^3</math>下納維-斯托克斯方程式解存在性的反證'''

存在一初始條件<math>\mathbf{v}_0(x)</math>及外力<math>\mathbf{f}(x,t)</math>使得納維-斯托克斯方程式不存在一解滿足上述條件3及條件4。

==部分結果==
# 二維空間下的納維-斯托克斯問題已在1960年代得證：存在光滑及全局定義解的解<ref>{{Citation |first=O. |last=Ladyzhenskaya |title=The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows |edition=2nd |location=New York |publisher=Gordon and Breach |year=1969 }}.</ref>。
# 在初速<math>\mathbf{v}(x,t)</math>相當小時此問題也已得證：存在光滑及全局定義解的解<ref name=problem_statement />。
# 若給定一初速<math>\mathbf{v}_0(x)</math>，且存在一有限、依<math>\mathbf{v}_0(x)</math>而變動的時間''T''，使得在<math>\mathbb{R}^3\times(0,T)</math>的範圍內，納維-斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過''T''後，是否仍存在平滑的解<ref name=problem_statement />。
#數學家[[讓·勒雷]]在1934年時證明了所謂納維-斯托克斯問題[[弱解]]的存在，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足<ref>{{citation| first=J. | last=Leray | title=Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace | journal=Acta Mathematica | volume=63 | year=1934 | pages=193–248 | doi=10.1007/BF02547354 | authorlink=Jean Leray }}</ref>。

==腳註==
{{Reflist|group=note}}

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20100613001632/http://claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/ The Clay Mathematics Institute's Navier–Stokes equation prize]
* [http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard  Why global regularity for Navier–Stokes is hard] {{Wayback|url=http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard |date=20220531092530 }} — Possible routes to resolution are scrutinized by Terence Tao.
* [https://web.archive.org/web/20140112090227/http://sgrajeev.com/fuzzy-fluids/  Fuzzy Fluid Mechanics]
* [https://web.archive.org/web/20140112100915/http://vimeo.com/18185364 Navier–Stokes existence and smoothness (Millennium Prize Problem)] A lecture on the problem by Luis Caffarelli

[[Category:偏微分方程]]
[[Category:流体动力学]]
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