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{{expand|time=2007-09-26T20:09:27Z}}

'''納皮爾的骨頭'''（{{lang-en|Napier's bones}}）是[[蘇格蘭]][[數學家]][[約翰納皮爾]]發明的一種用來計算[[乘法]]與[[除法]]，類似[[算盤]]的工具。由一個底座及九根圓柱（方柱）組成，可以把乘法運算轉為加法，也可以把除法運算轉為減法。更為進階的用法也可以開[[平方根]][[File:Bones of Napier (board and rods).png|thumb|底座跟柱子]]

納皮爾的骨頭在清初传入中国，数学家[[梅文鼎]]在《梅氏丛书辑要》中最先介绍納皮爾的骨頭，梅氏称之为“筹算”。后来[[戴震]]著作《[[策算]]》也叙述了这种算法<ref>吴文俊主编<《[[中国数学史大系]]》第七卷 156-158页</ref>。[[File:清骨质算筹一组.jpg|thumb|清代骨质算筹。[[中国财税博物馆]]藏。]]

== 簡介==
底座左邊的數字由上而下是1-9。先將之稱為n。

每根圓柱又分為十格，下面九格有自左下而右上的斜線。最上面的格子寫著1-9的數字，姑且稱為k，代表著這根柱子的編號。編號下面的數字則是由k乘上橫排相對應的n得到的，十位數擺左上角，個位數擺右下角。

=== 乘法運算 ===
舉例說明如何用納皮爾的骨頭進行乘法運算。

'''46785399'''乘以'''7'''

1.把編號4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圓柱依序放入底座。

2.如下圖將結果相加即得到乘積（記得要進位）。

[[File:Napier-example-1.png|600px|運算方法]]

'''46785399'''乘以'''96431'''

1.把編號4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圓柱依序放入底座。

2.將46785399乘以9,6, 4,3, 1分別用上述方法一條一條算出來。

3.接著用直式加法把數字加起來。

[[File:Napier_example_2.png|600px|運算方法]]

=== 除法運算 ===
同樣舉例說明。

'''46785399'''除以'''96431'''

1.把除數（96431）編號的柱子擺入底座。

2.如下圖所示把96431乘以1-9的結果寫出來。

3. 46785399從左邊六位開始看，下面寫上小於467853但最大的96431k。

4.用467853去減96431k（此例中k=4），得到的數字寫下面。

5.把上面的數字（9）移下來，如同長除法般重複進行此動作。

6.最後得到一個比96431還小的數，為餘數。

7.如有需要，可以一直進行除法工作以得到小數點位數。

[[File:Napier-example-3.png]]

=== 開平方根 ===
用來開平方根的納皮爾的骨頭會用到第十根柱子，上有三個直排。第一排上有數字1-9的平方，第二排是數字2,4, ...,18，第三排則是1-9。

{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
|+ 
!   || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9|| √ 
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>0</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2
|- align=right
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>2</sup>/<sub>7</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub> || <sup>2</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>2</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>2</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>0</sub> || <sup>1</sup>/<sub>5</sub> || <sup>2</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>3</sup>/<sub>5</sub> || <sup>4</sup>/<sub>0</sub> || <sup>4</sup>/<sub>5</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>1</sup>/<sub>4</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>2</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>5</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub> || <sup>5</sup>/<sub>6</sub> || <sup>6</sup>/<sub>3</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7
|- align=right
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>3</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>0</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>5</sup>/<sub>6</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub> || <sup>7</sup>/<sub>2</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8
|- align=right
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>7</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>4</sup>/<sub>5</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>6</sup>/<sub>3</sub> || <sup>7</sup>/<sub>2</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9
|}

'''求出46785399的平方根'''

1.把46785399分為兩位兩位一組，46 78 53 99。（如果奇數位數，如83559，寫成8 35 59）

2.從最左邊那組，46，開始。找出比這數最小的完全平方數，是在第六橫排上的36。

3.因為是從第六橫排上挑出來的，所以答案的第一位是6。

4.找到第十根柱子上的第六橫排第二直排，12，然後把1跟2的柱子放在底座上。

5.用46減去36得到10，然後把上面下一組的78移到10的右邊。

{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign="top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
!   || 1 || 2|| √
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2
|- align=right
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>1</sup>/<sub>4</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7
|- align=right
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8
|- align=right
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9
|}
|
          _____________
         √46 78 53 99    = 6
          36
          --
          10 78

|}

7.找出比1078還要小但最大的數，在此第八橫排的1024是最大的：
  <sup>0</sup>/<sub>8</sub> <sup>1</sup>/<sub>6</sub> <sup>6</sup>/<sub>4</sub> → 1024

8. 8為答案的下一位數，寫在6旁邊，然後把1078減去1024得到54。

{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign="top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
!   || 1 || 2|| √ || ''（value）''
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1 || ''121''
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2 || ''244''
|- align=right
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3 || ''369''
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4 || ''496''
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5 || ''625''
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6 || ''756''
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>1</sup>/<sub>4</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7 || ''889''
|- align=right style="background:#ffefbd;"
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8 || ''1024''
|- align=right
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9 || ''1161''
|}
|
          _____________
         √46 78 53 99    = 6'''8'''
          36
          --
          10 78
          '''10 24'''
          -----
             '''54'''

|}

9.把之前的12乘上10，再加上第十根柱子第八橫排第二直排的數，16，得136。

10.重複上述步驟可得到結果：

{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign="top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
!   || 1 || 3 || 6|| √ 
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2
|- align=right
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>5</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7
|- align=right
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8
|- align=right
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>2</sup>/<sub>7</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9
|}
|
          _____________
         √46 78 53 99    = 68
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54 53

|}

11.再次找到比5453還要小但最大的數，為4089。5453減去4089為1364，並把3寫在68的旁邊。

{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign="top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
!   || 1 || 3 || 6|| √ ||   
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1 || ''1361''
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2 || ''2724''
|- align=right  style="background:#ffefbd;"
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3 || ''4089''
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4 || ''5456''
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>5</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5 || ''6825''
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6 || ''8196''
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7 || ''9569''
|- align=right
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8 || ''10944''
|- align=right
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>2</sup>/<sub>7</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9 || ''12321''
|}
|
          _____________
         √46 78 53 99    = 68'''3'''
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54 53
             '''40 89'''
             -----
             '''13 64'''

|}

12.把3乘2的結果加上之前136的十倍，得到1366。把1,3, 6,6的版子擺入底座。

13.再度重複上述步驟。現在比最底下的數小的數是第九橫排的123021。

{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign="top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
!   || 1 || 3 || 6 || 6|| √ ||   
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1 || ''13661''
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2 || ''27324''
|- align=right
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3 || ''40989''
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4 || ''54656''
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>5</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5 || ''68325''
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6 || ''81996''
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7 || ''95669''
|- align=right
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8 || ''109344''
|- align=right style="background:#ffefbd;"
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>2</sup>/<sub>7</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9 || ''123021''
|}
|
          _____________
         √46 78 53 99    = 683'''9'''
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54 53
             40 89
             -----
             13 64 99
             '''12 30 21'''
             --------
              '''1 34 78'''

|}

14.再把9加到答案當中，得到整數答案6839。

我們把題目給的數46785399用完了，但是底下還有餘數13478。這意味著6839-{只}-是答案的整數部分，<math>\sqrt{46785399}</math>的實際值應當比6839大，比6840小。如果有需要繼續做下去以得到小數部分的話，下一組的兩個數字就要用00：

{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign="top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
!   || 1 || 3 || 6 || 7 || 8|| √
|- align=right
| '''1''' || <sup>0</sup>/<sub>1</sub> || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>0</sup>/<sub>1</sub>     2   1
|- align=right
| '''2''' || <sup>0</sup>/<sub>2</sub> || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub> || <sup>0</sup>/<sub>4</sub>     4   2
|- align=right
| '''3''' || <sup>0</sup>/<sub>3</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>0</sup>/<sub>9</sub>     6   3
|- align=right
| '''4''' || <sup>0</sup>/<sub>4</sub> || <sup>1</sup>/<sub>2</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>2</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>2</sub> || <sup>1</sup>/<sub>6</sub>     8   4
|- align=right
| '''5''' || <sup>0</sup>/<sub>5</sub> || <sup>1</sup>/<sub>5</sub> || <sup>3</sup>/<sub>0</sub> || <sup>3</sup>/<sub>5</sub> || <sup>4</sup>/<sub>0</sub> || <sup>2</sup>/<sub>5</sub>   10   5
|- align=right
| '''6''' || <sup>0</sup>/<sub>6</sub> || <sup>1</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>3</sup>/<sub>6</sub>   12   6
|- align=right
| '''7''' || <sup>0</sup>/<sub>7</sub> || <sup>2</sup>/<sub>1</sub> || <sup>4</sup>/<sub>2</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub> || <sup>5</sup>/<sub>6</sub> || <sup>4</sup>/<sub>9</sub>   14   7
|- align=right
| '''8''' || <sup>0</sup>/<sub>8</sub> || <sup>2</sup>/<sub>4</sub> || <sup>4</sup>/<sub>8</sub> || <sup>5</sup>/<sub>6</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub> || <sup>6</sup>/<sub>4</sub>   16   8
|- align=right
| '''9''' || <sup>0</sup>/<sub>9</sub> || <sup>2</sup>/<sub>7</sub> || <sup>5</sup>/<sub>4</sub> || <sup>6</sup>/<sub>3</sub> || <sup>7</sup>/<sub>2</sub> || <sup>8</sup>/<sub>1</sub>   18   9
|}
|
          _____________
         √46 78 53 99    = 6839.
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54 53
             40 89
             -----
             13 64 99
             12 30 21
             --------
              1 34 78 00

|}

這些步驟可以一直重複使得到的答案無限逼近正解。

最後，如果要求平方根的數是小數的話，將數字分組的時候整數部分跟小數部分要分開分組；整數部分如常，小數部分則是方向相反。

例如數字54782.917的分組情況為：

5 47 82 . 91 7

接著便可開平方。

==参考文献==
<references/>

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[[Category:乘法]]
[[Category:除法]]