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{{Unreferenced|time=2020-03-07T07:40:11+00:00}}
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在[[量子力學]]中的一個量子系統，物理學家最有興趣的是找出這個量子系統的[[基態]]，也就是能量[[本徵值]]最小的態，例如：兩個自旋1/2的粒子所形成的量子系統中，若粒子之間的交互作用可寫成

<math>\frac{1}{4} \left( \sigma^x_1\otimes\sigma^x_2+\sigma^y_1\otimes\sigma^y_2+\sigma^z_1\otimes\sigma^z_2 \right) = 
\frac{1}{4} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & -1& 2 & 0 \\0 & 2 & -1& 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

其中<math>\sigma^x_i</math>、<math>\sigma^y_i</math>、<math>\sigma^z_i</math>表示第<math>i</math>個自旋的[[包立矩陣]]。將上面4×4的矩陣對角化後可得本徵值：<math>-\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}</math>，對應的本徵向量為<math>\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}</math>，而 <math>\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\\0 \end{pmatrix}</math> 即為這個系統中的[[基態]]。

可想而知，隨著量子系統的粒子數變多，且交互作用愈來愈複雜時，量子系統的[[基態]]很難用解析的方法計算出來，因此許多物理學家轉向利用數值方法來求得[[基態]]。

'''精確對角化法'''（exact diagonalization）是一個最直接求得基態的數值方法，但由於將[[哈密頓算符]]完整對角化非常花費時間與電腦記憶體，所以當需要的只是基態和少數激發態，通常利用Lanczos演算法和Davidson演算法。'''精確對角化法'''本身的物理概念極為簡單，若是只需要得到極小尺寸的結果，在程式撰寫方面也很容易，然而增加系統尺寸時，隨著所需的記憶體暴增，程式設計變得非常困難。主要困難之處在於如何有效運用有限的記憶體，以及提升程式運作的效率。目前電腦的條件下，精確對角化法的尺寸極限如下：

# 一維[[自旋-1/2]]的環：36個格點。
# 二維[[自旋-1/2]]的平方晶格：40個格點。
# 二維[[t-J模型]]的平方晶格：32個格點，4個電洞。
# 二維[[Hubbard模型]]的平方晶格：32個格點。
# 一維[[Holstein 链]]：14個格點。

== 完整對角化法（Householder method） ==

== Lanczos演算法 ==
Lanczos演算法是由數學家{{tsl|en|Cornelius Lanczos|}}所發明。

== 對稱性與好量子數 ==



[[Category:計算物理學]]