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数学中，'''粘性解'''是20世纪80年代早期由[[皮埃爾-路易·利翁]]和[[Michael G. Crandall]]作为对[[偏微分方程]]（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如[[优化控制]]中的一阶偏微分方程（[[哈密顿-雅可比-贝尔曼方程]]），[[微分对策]]中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem）<ref>I. Dolcetta and P. Lions, eds.,（1995）, ''Viscosity Solutions and Applications.'' Springer, ISBN 978-3-540-62910-8.</ref>，还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的。

经典的概念是在域<math>x\in\Omega</math>中PDE
:<math> H(x,u,Du) = 0 </math>
有解，如果能找到在整个域上连续且可微的[[函数]]''u''(''x'')，使得''x'', ''u''和''Du''（''u''的微分）在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下，''u''不需要在每个点都可微。可能在有些点上''Du''不存在，即''u''中存在扭结（kink）但''u''在适当意义下满足等式。虽然在某个点上''Du''可能不存在，但可以使用下面定义的''上微分''（superdifferential）<math>D^+ u</math>和''下微分''（subdifferential）<math>D^-u</math>代替。

'''定义1.'''  <math>D^+ u(x_0) = \left\{ p: \limsup_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}{|x_1-x_0|}\le 0 \right\}</math>

'''定义2.'''  <math>D^- u(x_0) = \left\{ p: \liminf_{x_1\rightarrow x_0} \frac{u(x_1)-u(x_0)-p (x_1-x_0)}{|x_1-x_0|}\ge 0 \right\}</math>

一般地，集合<math>\,D^+u\,</math>中的每个<math>\,p\,</math>是<math>\,u\,</math>在<math>\,x_0\,</math>"斜率"（slope）的一个上界，集合<math>\,D^-u\,</math>中每个<math>\,p\,</math>是<math>\,u\,</math>在<math>\,x_0\,</math>"斜率"（slope）的一个下界。

'''定义3.'''  连续函数''u''是上面PDE的一个''粘性上解''（viscosity subsolution），如果满足
:<math>H(x,u(x),p)\le 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^+ u(x) </math>

'''定义4.'''  连续函数''u''是上面PDE的一个''粘性下解''（viscosity supersolution），如果满足
:<math>H(x,u(x),p)\ge 0, \forall x \in \Omega, \forall p \in D^- u(x)</math>。

'''定义5.'''连续函数''u''是PDE的一个粘性解如果它既是''粘性上解''又是''粘性下解''。

粘性解存在不需引入上（下）微分概念的等价定义，见Fleming与Soner书<ref>Wendell H. Fleming, H. M . Soner., eds.,（2006）, ''Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions.'' Springer, ISBN 978-0387-260457.</ref>中的第II.4节。

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:偏微分方程]]
[[Category:动态规划]]
[[Category:数理经济学]]