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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''米迪定理'''說明如果将<math>\frac{a}{p}</math>化为b[[进制]]小数（其中p为[[质数]]，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数<ref group="注">有些质数的循环节长度是奇数，如3、31。</ref>，则有以下性质：

* 若將這個分數用循環小數寫成<math>0.\overline{a_1a_2a_3...a_na_{n+1}...a_{2n}}</math>，则
* <math>a_i+a_{i+n}=b-1</math>
* <math>a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^n-1.</math>

這個定理還可再推廣为'''广义米迪定理'''：若把长度2n的循环节划分为长度为k的<math>\frac{2n}{k}</math>个组，即<math>0.\overline{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}</math>，则<math>a_1a_2...a_k + a_{k+1}a_{k+2} ... a_{2k} + ... + a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}</math>是<math>b^k-1</math>的倍數。

==例==
;<math>\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}</math>（10进制）
循环节长度是16，是偶数，可应用米迪定理。
* 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1……
* <math>05882352+94117647=10^8-1</math>

;<math>\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}</math>（10进制）
循环节长度是18，是偶数，可应用米迪定理。
* 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1……
* <math>052631578+947368421=10^9-1</math>
* <math>052631+578947+368421=10^6-1</math>（广义米迪定理，k=6）
* <math>052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^3-1)</math>（广义米迪定理，k=3）

;<math>\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8</math>
*<math>032_8+745_8=777_8</math>
*<math>03_8+27_8+45_8=77_8.</math>

==定理的证明==
米迪定理可以用[[群论]]中的结果来证明。然而，也可以用[[算术]]和[[同余]]来证明米迪定理：

设''p''为素数，''a''/''p''是0与1之间的分数。假设在''b''进制中，''a''/''p''的展开式的周期为''l''，所以：

:<math>\frac{a}{p}=[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b</math>
:<math>\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=[a_1a_2\dots a_l.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b</math>
:<math>\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b=N+\frac{a}{p}</math>
:<math>\Rightarrow\frac{a}{p}=\frac{N}{b^l-1}</math>

其中''N''是在''b''进制中的展开式为''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>...''a''<sub>''l''</sub>的整数。

因为<math>\frac{a}{p}(b^l-1)=N</math>且N为整数，所以<math>b^l-1</math>必为p的倍数。另外，对于任何小于''l''的''n''，''b''<sup>''n''</sup>&minus;1都不是''p''的倍数，否则在''b''进制中''a''/''p''的周期将小于''l''，这是不可能的。

现在，假设''l''=''hk''。那么''b''<sup>''l''</sup>&minus;1是''b''<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1的倍数。设''b''<sup>''l''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 = ''m''(''b''<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)，因此：

:<math>\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.</math>

但''b''<sup>''l''</sup>&minus;1是''p''的倍数；''b''<sup>''k''</sup>&minus;1不是''p''的倍数（因为''k''小于''l''）；且''p''是素数；因此''m''一定是''p''的倍数，且

:<math>\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}</math>

是整数。也就是说：

:<math>N\equiv0\pmod{b^k-1}.</math>

现在，把''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>...''a''<sub>l</sub>分成''h''个长度为''k''的部分，并设它们在''b''进制中表示''N''<sub>0</sub>...''N''<sub>''h''&nbsp;&minus;&nbsp;1</sub>，所以：

:<math>N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b</math>
:<math>N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_b</math>
:<math>.</math>
:<math>.</math>
:<math>N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b</math>

为了证明''b''进制中广义的米迪定理，我们必须证明''h''个整数''N''<sub>i</sub>的和是''b''<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1的倍数。

由于''b''<sup>''k''</sup>被''b''<sup>''k''</sup>&minus;1除余1，任何''b''<sup>''k''</sup>的幂被''b''<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1除也余1。因此：

:<math>N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i</math>
:<math>\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}</math>
:<math>\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}</math>

这就证明了''b''进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理，取''h'' = 2的特殊情况。注意''N''<sub>0</sub>和''N''<sub>1</sub>在''b''进制中都由''k''个数字表示，所以都满足

:<math>0 \leq N_i \leq b^k-1.</math>

''N''<sub>0</sub>和''N''<sub>1</sub>不能都等于0（否则''a''/''p'' = 0），也不能都等于''b''<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1（否则''a''/''p'' = 1），因此：

:<math>0 < N_0+N_1 < 2(b^k-1)</math>

由于''N''<sub>0</sub> + ''N''<sub>1</sub>是''b''<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1的倍数，所以有：

:<math>N_0+N_1 = b^k-1.</math>

==参考资料==
{{reflist|group=注}}
{{cite journal|author=William G. Leavitt|title=A THEOREM ON REPEATING DECIMALS|journal=The American Mathematical Monthly|volume=74|issue=6|pages=669-673|url=http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1047&context=mathfacpub|accessdate=2014-12-29|date=1967年6月|archive-date=2018-07-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20180723223344/http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1047&context=mathfacpub|dead-url=no}}

==外部链接==
* {{MathWorld|urlname=MidysTheorem|title=Midy's Theorem}}

{{pns}}
[[Category:数论定理]]
[[Category:分數]]
[[Category:數制]]