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{{no footnotes|time=2018-01-29T01:54:02+00:00}}
在[[范畴论]]中，'''范畴'''这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作[[范畴论]]。

==定義==

=== 范畴 ===
一个'''范畴''' <math>\mathcal C</math> 意指资料 <math>(\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}, \mathrm{Mor\ }{\mathcal C};\circ )</math>，其中：
* 一個由'''对象'''（'''Ob'''ject）所構成的[[類 (數學)|類]] <math>\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}</math>；
* 物件間的'''[[态射]]'''（'''Mor'''phism）所構成的類 <math>\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}</math>。每一個態射 <math>f\in{\mathrm{Mor\ }}\mathcal{C}</math> 均蕴含确定的「始对象（'''Dom'''ain）」<math>A</math> 和「终对象（'''Cod'''omain）」<math>B</math>，且 '''<math>A,B\in\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}</math>'''。此时记 <math>f\colon A\to B</math>，称 <math>f</math> 为从 <math>A</math> 到 <math>B</math> 的'''一个'''态射{{#tag:ref|此处并未限定是唯一一个。|group=注释}}。所有由 ''<math>A</math>'' 至 <math>B</math> 的态射构成类，记作 <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)</math>，不致混淆时，也记作 <math>\mathrm{Hom}\ (A,B)</math>；
* 对任意态射对 <math>(A,B)</math> 有态射复合 <math>\circ</math> 如下：
<math>\begin{align}\circ(-,-)\colon\ &\mathrm{Hom}\ (A,B)\times\mathrm{Hom}\ (B,C) & \to &\quad \mathrm{Hom}\ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto&\quad g\circ f,\end{align}</math>

其中，<math>g\circ f</math> 在不致混淆时也记作 <math>gf</math>。

此態射複合滿足下列公理：
* （結合律）对态射 <math>f\colon A\to B</math>，<math>g\colon B\to C</math> 和 <math>h\colon C\to D</math>，有 <math>h(gf)=(hg)f</math>；
* （幺元）对任意对象 <math>X</math>，存在一态射 <math>1_X \in \mathrm{Hom}\ (X,X)</math>，使得对任意态射 <math>f\in\mathrm{Hom}\ (A,B)</math>，均满足 <math>1_Bf=f=f1_A</math>。态射 <math>1_X</math> 称作「<math>X</math> 的单位态射」。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。{{来源请求|在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。|time=2024-11-22}}
[[File:Functors_Between_Ob_C_and_Mor_C,_Dom,_Cod,_Id.svg|thumb|图 1：<math>\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}</math> 和 <math>\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}</math> 间的映射]]
显然，<math>\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}</math> 和 <math>\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}</math> 间自然地存在三个映射：<math>\mathrm{Id}\colon\ X\mapsto 1_X</math>，<math>\mathrm{Dom}\colon\ f\mapsto A</math>，<math>\mathrm{Cod}\colon\ f\mapsto B</math>，如图 1 所示。

=== 小范畴和局部小范畴 ===
一个范畴 <math>\mathcal C</math> 称作'''小范畴'''（Small Category），当且仅当其态射类 <math>\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}</math> 比[[真类]]小，即仅有集合那么大。

一个范畴 <math>\mathcal C</math> 称作'''局部小范畴'''（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 <math>(A,B)\in(\mathrm{Ob}\ \mathcal{C})^2</math>，其对应的的态射类 <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)</math> 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

==范畴举例==
每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。
* 所有[[集合 (数学)|集合]]的[[集合范畴|范畴]] <math>\mathsf{Set}</math>，其態射為集合間的[[函數]]，而態射複合則為一般的函數複合。{{#tag:ref|此处及下列皆為[[具體範疇]]的例子，即：在 <math>\mathsf{Set}</math> 上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合為簡單的一般函數複合。|group=注释}}
** 所有[[預序關係]]的[[预序范畴|范畴]] <math>\mathsf{Ord}</math>，其態射為[[单调函数|單調函數]]。
** 所有[[原群]]的[[原群范畴|范畴]] <math>\mathsf{Mag}</math>，其態射為原群間的[[同态|同態]]。
** 所有[[群]]的[[群範疇|范畴]] <math>\mathsf{Group}</math>，其態射為[[群同態]]。
** 所有[[阿貝爾群]]的[[阿貝爾範疇|範疇]] <math>\mathsf{Ab}</math>，其態射為[[群同態]]。
** 所有[[环 (代数)|環]]的[[环范畴|范畴]] <math>\mathsf{Ring}</math>，其態射為[[环同态|環同態]]。{{#tag:ref|部分作者习惯将一般环的范畴记作 <math>\mathsf{Rng}</math>，而将幺环的范畴记作 <math>\mathsf{Ring}</math>。<ref>{{Cite journal |author=Bjorn Poonen |title=Why all rings should have a 1 |url=https://arxiv.org/pdf/1404.0135 |journal=[[arXiv]] |year=2014 |arxiv=1404.0135}}</ref>|group=注释}}
** 所有於[[域 (數學)|體]] <math>\mathbb{k}</math>（維持固定）上的[[向量空間]]的[[线性空间范畴|范畴]] <math>\mathsf{Vect}_{\mathbb{k}}</math>，其態射為[[線性映射]]。
** 所有[[拓樸空間]]的[[拓扑范畴|范畴]] <math>\mathsf{Top}</math>，其態射為[[連續函數 (拓撲學)|連續函數]]。
** 所有[[度量空间|度量空間]]的[[度量空间范畴|范畴]] <math>\mathsf{Met}</math>，其態射為[[度量映射]]。
** 所有[[一致空間]]的[[一致空间范畴|范畴]] <math>\mathsf{Uni}</math>，其態射為[[一致連續|一致連續函數]]。
** 所有光滑[[流形]]的[[流形范畴|范畴]] <math>\mathsf{Man}^p</math>，其態射為 <math>p</math> 次連續可微映射。
* 所有小範疇的[[小范畴范畴|范畴]] <math>\mathsf{Cat}</math>，其態射為[[函子]]。
* 所有局部小范畴的[[局部小范畴范畴|范畴]] <math>\mathsf{CAT}</math>。{{#tag:ref|由于 [[罗素悖论|Russell 悖论]]，找到这样一个范畴使得 <math>\mathsf{CAT}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}</math> 并不可行，不过显然有 <math>\mathsf{Cat}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}</math>。<ref>{{Cite book |title=Category Theory in Context |author=Emily Riehl |publisher=Aurora |location=USA |year=2014 |isbn=978-0-486-80903-8}}</ref>|group=注释}}
* 所有[[集合 (数学)|集合]]的[[關係範疇|关系范畴]] <math>\mathsf{Rel}</math>，其態射為[[关系 (数学)|關係]]。
* 任一[[預序關係|預序集]] <math>(P, \preceq)</math> 均蕴含一個小範疇，其对象為 <math>P</math> 的元，态射为有序对 <math>(p,q)</math> 使得 <math>p\preceq q</math>。{{#tag:ref|可以验证，这样的态射复合满足定义的公理。|group=注释}}
* 任一[[么半群|幺半群]] <math>M</math> 均蕴含一个携唯一一个对象 <math>x</math> 的小范畴 <math>\mathsf{B}M</math>。<math>\mathsf{B}M</math> 以 <math>M</math> 中的元作为态射，每个态射各自表示 <math>x</math> 上一个不同的自同态，而态射复合由 <math>M</math> 的乘法给出。<math>M</math> 的幺元 <math>e\in M</math> 也作为 <math>\mathsf{B}M</math> 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。
* 任意[[有向图]]蕴含一个自然的小范畴，以图的[[顶点 (图论)|顶点]]为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。
* 若''I''是一個[[集合 (数学)|集合]]，「在''I''上的[[具體範疇]]」會是個小範疇，其物件為''I''的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

==态射类型==
一个[[态射]] <math>f\colon\ a\to b</math> 被称为：

* 同构（'''Iso'''morphism），当且仅当存在态射 <math>g\colon\ b\to c</math>，满足 <math>gf=1_a,\,fg=1_b</math>，换言之，存在逆；
* 自态射（'''End'''omorphism），当且仅当 <math>b=a</math>，即 <math>f</math> 是从 <math>a</math> 到 <math>a</math> 自身的态射；
* 自同构（'''Aut'''omorphism），当且仅当 <math>f</math> 同时为同构与自态射；
* [[單態射|单态射]]（'''Mono'''morphism），当且仅当对任意态射 <math>h,k\in\mathrm{Hom}\ (x,\,a)</math>，<math>fh=fk</math> 均蕴含 <math>h=k</math>；
* [[满态射]]（'''Epi'''morphism），当且仅当对任意态射 <math>h,k\in\mathrm{Hom}\ (b,\,x)</math>，<math>hf=kf</math> 均蕴含 <math>h=k</math>；
* <math>g\colon\ b\to a</math> 的截面（Section），当且仅当 <math>gf=1_a</math>，也称作 <math>g</math> 的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）；
* <math>g\colon\ b\to a</math> 的收缩（Retraction），当且仅当 <math>fg=1_b</math>，也称作 <math>g</math> 的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；

也记 <math>a</math> 上的所有自态射构成类 <math>\mathrm{End}\ a</math>，所有自同构构成类 <math>\mathrm{Aut}\ a</math>。

下述三个命题是等价的：
# <math>f</math> 是单态射且是收缩。
# <math>f</math> 是满态射且是截面。
# <math>f</math> 是同构。

态射之间的关系（例如 <math>fg=h</math>）可以非常方便地表示为[[交换图表]]，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

==特别的范畴==

=== 子范畴 ===
给定一个范畴 <math>\mathcal{C}</math>，称范畴 <math>\mathcal{D}</math> 为 <math>\mathcal{C}</math> 之子范畴（Subcategory），当且仅当：

* <math>\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\subseteq \mathrm{Ob}\ \mathcal{C}</math>，
* <math>\mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\subseteq\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}</math>，
* 同时，态射复合仍然保持。

=== 群胚 ===
称 <math>\mathcal{C}</math> 为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

* 群可被定义作具唯一一个对象的群胚；

任意范畴 <math>\mathcal{C}</math> 均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部 <math>\mathcal{C}</math> 的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

===对偶范畴===
令 <math>\mathcal{C}</math> 为一范畴，规定其[[对偶范畴]] <math>\mathcal{C}^{\mathrm{op}}</math> 如下：
* 以 <math>\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}</math> 为 <math>\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}</math>；
* 由如下从 <math>\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}</math> 到 <math>\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}</math> 的一一对应[[函子]]完全生成后者：   

<math>\begin{align}\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}\qquad&\to&\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\\
f\colon\ X\to Y\quad&\mapsto& f^{\mathrm{op}}\colon\ Y\to X\end{align}</math>  

其中满足：<math>\forall f,g\in\mathrm{Mor}\ \mathcal{C},(f\circ_{\mathcal{C}}g)^{\mathrm{op}}:=g^{\mathrm{op}}\circ_{\mathcal{C}^{\mathrm{op }}}f^{\mathrm{op}}</math>。

利用对偶范畴可证明如下的[[对偶定理]]：

定理：下列三条定理等价：

# <math>f\colon\ x\to y</math> 为范畴 <math>\mathcal{C}</math> 中的一个同构（双态射）；
# 对所有对象 <math>c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}</math>，<math>f</math> 上的后复合定义了双射 <math>f_*\colon\ \mathrm{Hom}(c,x)\to \mathrm{Hom} (c,y)</math>；
# 对所有对象 <math>c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}</math>，<math>f</math> 上的前复合定义了双射 <math>f^*\colon\ \mathrm{Hom}(y,c)\to \mathrm{Hom} (x,c)</math>；

=== 积范畴 ===
对任意范畴 <math>\mathcal{C}</math> 和 <math>\mathcal{D}</math>，定义其积范畴 <math>\mathcal{C}\times\mathcal{D}</math> 如下：

* 以形如 <math>(c,\,d)</math> 的[[有序对]]为对象，其中 <math>c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C},\,d\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}</math>，
* 以形如 <math>(f,\,g)\colon\ (c,\,d)\to(c',\,d') </math> 的有序对为态射，同时
* 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。

[[File:The_Commutative_Graph_between_d,_e,_f_in_Comma_Category_F_downarrow_G.svg|thumb|图 2：逗号范畴之态射]]

=== 逗号范畴 ===
给定[[函子]] <math>F\colon\ \mathcal{D}\to\mathcal{C},\,G\colon\ \mathcal{E}\to\mathcal{C}</math>，定义其[[逗号范畴]] <math>F\downarrow G</math> 如下：

* 以有序三元组 <math>(d,\,e,\,f\colon\ Fd\to Ge)\in \mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\times\mathrm{Ob}\ \mathcal{E}\times\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}</math> 为对象，

* 以有序对 <math>(h\colon\ d\to d',\,k\colon\ e\to e')\in \mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\times \mathrm{Mor}\ \mathcal{E} </math> 为态射，使得对于每个 <math>(h,\,k)\colon\ (d,\,e,\,f)\to(d',\,e',\,f')</math>，图 2 在 <math>\mathcal{C}</math> 中交换， 即：使得 <math>f'\circ Fh=Gk\circ f</math>。

==範疇類型==
* 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合 <math>\mathrm{Hom}(a,\,b)</math> 不仅是集合，而且还是[[阿贝尔群]]，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是[[双线性映射|双线性的]]。这种范畴称为[[預可加範疇|预可加范畴]]。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限[[积 (范畴论)|积]]和[[上积]]，那么我们称之为[[可加範疇|可加范畴]]。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为[[阿貝爾範疇|阿贝尔范畴]]。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
* 范畴是完备的当其拥有所有[[极限 (范畴论)|极限]]。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
* 范畴是[[笛卡儿闭范畴|笛卡尔闭]]的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 '''[[集合范畴|Set]]''' 和 '''CPO'''，即[[完全偏序]]和[[斯科特连续性|斯科特连续函数]]组成的范畴。
* [[拓撲斯|拓扑斯]]是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

==注释==
{{Reflist|group=注释}}

==參考文獻==
{{Reflist}}
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* Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). [ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf ''Categories, Types and Structures'']. Originally publ. M.I.T. Press.
* Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). [https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html ''Toposes, Triples and Theories''].（revised and corrected free online version of ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）.'' Springer-Verlag,1983)
* Borceux, Francis (1994). ''Handbook of Categorical Algebra.''. Vols. 50-52 of ''Encyclopedia of Mathematics and its Applications.'' Cambridge: Cambridge University Press.
* Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. ''Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories''. Cambridge: Cambridge University Press.
* Mac Lane, Saunders (1998). ''Categories for the Working Mathematician''（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
* Jean-Pierre Marquis, [http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ "Category Theory"] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ |date=20211121231337 }} in [http://plato.stanford.edu/ ''Stanford Encyclopedia of Philosophy''] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/ |date=19961227155812 }}, 2006
<references />

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20061014180302/http://www.mta.ca/~cat-dist/categories.html Homepage of the Categories mailing list], with extensive list of resources
* [https://web.archive.org/web/20020123032906/http://us.geocities.com/alex_stef/mylist.html ''Category Theory'' section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources]

{{範疇論}}

[[Category:范畴论|F]]