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{{Not|范数}}

在[[域論]]，'''範數'''是一種映射。

設<math>K</math>為[[域 (數學)|域]]，<math>L</math>是<math>K</math>的有限[[代數擴張]]。將<math>\alpha</math>與<math>L</math>的一個元素相乘，是一個[[線性變換]]：
: <math>m_\alpha : L \to L</math>

<math>N_{L/K}(\alpha)</math>定義為<math>m_\alpha</math>的行列式。

因此可得<math>N_{L/K}</math>的性質：

* <math>N_{L/K}(\alpha) \in K \forall \alpha \in L</math>
* <math>N_{L/K}(\alpha \beta) = N_{L/K}(\alpha) N_{L/K}(\beta)</math>

若<math>L/K</math>為[[伽羅瓦擴張]]，<math>N_{L/K}(\alpha)</math>是<math>\alpha</math>所有[[共轭 (代数)|共軛]]的積，即是<math>\alpha</math>的[[極小多項式]]的所有根的積。

[[代數整數]]的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為[[理想 (環論)|理想]]定義範數。若<math>I</math>是代數數域<math>K</math>的整數域<math>O_k</math>中的理想，<math>N(I)</math>是<math>O_k/I</math>的剩餘類的數目。

==例子==
* 複數的範數：對於<math>a,b \in \mathbb{R}</math>，對於[[复数 (数学)|複數]]此一實數域擴張，<math>N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2</math>，即複數和其[[共軛複數]]之積，因為<math>a+bi</math>在<math>\mathbb{R}</math>的極小多項式的根是<math>a \pm bi</math>。
* 設<math>L=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) , K=\mathbb{Q}, \varphi = (1 + \sqrt{5})/2</math>（[[黃金分割]]）。<math>N( \varphi ) = (1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})/4 = 1</math>，因為它在<math>L</math>的極小多項式是<math>x^2 - x - 1</math>。

[[Category:域論|F]]
[[Category:范数]]