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{{noteTA|G1=物理學}}
{{物理算符}}

在[[物理學]]领域裡，'''算符'''（operator）亦稱'''算子'''、'''運算子'''<ref>Kittel charles著,洪連輝等譯，固態物理學導論，第681頁。</ref>，有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像[[對稱性]]或[[守恆定律]]的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在[[經典力學]]裏的算符大多作用於[[函數]]，這些函數的參數為各種各樣的[[物理量]]，算符將某函數[[映射]]為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在[[量子力學]]裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是[[量子態]]。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

==經典力學==
在[[經典力學]]裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由[[拉格朗日量]]<math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)</math>或[[哈密頓量]]<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>決定；其中，<math>\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)</math>、<math>\dot{\mathbf{q}}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots,\dot{q}_n)</math>分別是[[廣義坐標]]、[[廣義速度]]，<math>\mathbf{p} =(p_1,p_2,p_3,\dots,p_n)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}</math>是[[共軛動量]]，<math>t</math>是時間。

假設拉格朗日量<math>\mathcal{L}</math>或哈密頓量<math>\mathcal{H}</math>與某廣義坐標<math>q_i</math>無關，則當<math>q_i</math>有所改變時，<math>\mathcal{L}</math>或<math>\mathcal{H}</math>仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於<math>q_i</math>的共軛動量<math>p_i</math>守恆。對於廣義坐標<math>q_i</math>的改變，動力行為所具有的不變性是一種[[對稱性]]。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種[[群]]<math>G</math>的變換運算，物理系統的哈密頓量是個[[不變量]]；也就是說，假設<math>S\in G</math>，
:<math>S\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})=\mathcal{H}(\mathbf{q}',\ \mathbf{p}')=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>。

在這案例裏，所有<math>G</math>的元素<math>S</math>都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管<math>S</math>作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於[[平移]]於空間的簡單例子。「平移算符」<math>T_a</math>能夠將粒子從坐標為<math>q_i</math>移動至坐標為<math>q_i+a</math>，以方程式表示：
:<math>T_a f(q_i)=f(q_i-a)</math>；

其中，<math>f(q_i)</math>是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管<math>T_a</math>的作用，這物理系統的哈密頓量<math>\mathcal{H}</math>是個不變量，對應於坐標<math>q_i</math>的動量<math>p_i</math>守恆。

===經典力學算符表格===
:{| class="wikitable"
|-
! 算符
! 標記
! 位置
! 動量
|-
| 平移算符 
| <math>T(\mathbf{\Delta \mathbf{r}})</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} +\Delta \mathbf{r}</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}</math>
|-
| 時間演化算符
| <math>U(\Delta t)</math>
| <math>\mathbf{r}(t)\rightarrow \mathbf{r}(t+\Delta t)</math>
| <math>\mathbf{p}(t)\rightarrow \mathbf{p}(t+\Delta t)</math>
|-
| 旋轉算符 
| <math>R(\mathbf{\hat{n}},\theta)</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{r}</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{p}</math>
|- 
| 伽利略變換算符
| <math>G(\mathbf{v})</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{v}t</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p} + m\mathbf{v}</math>
|-
| 宇稱算符
| <math>P</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow -\mathbf{r}</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}</math>
|-
| 時間反演算符
| <math>\Theta</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r}(-t)</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}(-t)</math>
|-
|}

*<math>R(\hat{\mathbf{n}},\theta)</math>是[[旋轉矩陣]]，<math>\hat{\mathbf{n}}</math>是旋轉軸向量，<math>\theta</math>是旋轉角弧。

===生成元概念===
對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為 
:<math>T_{\epsilon}\approx I+\epsilon A</math>；

其中，<math>I</math>是「單位算符」──變換[[群]]的[[單位元]]，<math>\epsilon</math>是微小參數，<math>A</math>是專門用來設定平移變換[[群]]的[[生成元]]。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符<math>T_\epsilon</math>作用於函數<math>f(x)</math>：
:<math>T_\epsilon f(x)=f(x - \epsilon)</math>。

由於<math>\epsilon</math>很微小，可以[[泰勒级数|泰勒近似]]<math>f(x- \epsilon)</math>為
: <math>T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)</math>。

重寫平移算符的方程式為
: <math>T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon \mathrm{D}) f(x)</math>；

其中，[[微分算子|導數算符]]<math>\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math>是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

===指數映射===
在正常狀況下，通過[[指數映射]]，可以從生成元得到整個[[群]]。對於平移於空間這案例，重複地做<math>N</math>次微小平移變換<math>T_{a/N}</math>，來代替一個有限值為<math>a</math>的平移變換<math>T_a</math>  ：
:<math>T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)</math>。

現在，讓<math>N</math>變得無窮大，則因子<math>a/N</math>趨於無窮小：
:<math>T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N)\mathrm{D})^N f(x)</math>。

這表達式的極限為指數函數：
:<math>T_a f(x)= e^{-a\mathrm{D}} f(x)</math>。

核對這結果的正確性，將指數函數[[泰勒展開]]為[[冪級數]]：
:<math>T_a f(x) = \left(I - a\mathrm{D} + {a^2\mathrm{D}^2\over 2!} - {a^3\mathrm{D}^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)</math>。

這方程式的右手邊可以重寫為
:<math>f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f''(x) - {a^3\over 3!} f'''(x) + \cdots</math>。

這正是<math>f(x-a)</math>的[[泰勒級數]]，也是<math>T_a f(x)</math>的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目[[C*-代数]]與[[蓋爾范德-奈馬克定理]]（Gelfand-Naimark theorem）。

==量子力學==
在[[量子力學]]裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的[[量子態]]可以用[[態向量]]設定，態向量是[[向量空間]]的[[範數|單位範數]][[向量]]。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量[[範數]]應該保持不變，量子算符必須是[[厄米算符]]{{来源请求|reason=显然大部分物理量对应的算符是非幺正的。|time=2018-2-24}}。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為[[本徵態]]，稱此乘法數值為[[本徵值]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|11-12}}

物理實驗中可以觀測到的[[物理量]]稱為[[可觀察量]]。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據[[統計詮釋]]，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall|year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|106-109}}

===量子算符===
假設，物理量<math>O</math>是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符<math>\hat{O}</math>可能有很多不同的本徵值<math>O_i</math>與對應的本徵態<math>|e_i\rang</math>，這些本徵態<math>|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots</math>，形成了具有[[正交歸一性]]的[[基底]]：<ref name=Griffiths2004/>{{rp|96-99}}
:<math>\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}</math>；

其中，<math>\delta_{ij}</math>是[[克羅內克函數]]。

假設，某量子系統的量子態為
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang</math>；

其中，<math>c_i=\lang e_i |\psi \rang</math>是複係數，是在<math>|e_i\rang</math>裏找到<math>|\psi\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakurai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010|isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|50}}

測量這動作將量子態<math>|\psi\rang</math>改變為本徵態<math>|e_i\rang</math>的機率為<math>p_i=|c_i|^2</math>，測量結果是本徵值<math>O_i</math>的機率也為<math>p_i</math>。

===期望值===
{{主條目|期望值 (量子力学)|l1=期望值}}
在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，[[期望值 (量子力学)|期望值]]是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用[[狄拉克標記]]，對於量子系統的[[量子態]]<math>|\psi\rang</math>，可觀察量<math>O</math>的期望值<math>\lang O\rang</math>定義為<ref name=Sakurai/>{{rp|24-25}}
:<math> \lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang</math>；

其中，<math>\hat{O}</math>是對應於可觀察量<math>O</math>的算符。

將算符<math>\hat{O}</math>作用於量子態<math>|\psi\rang</math>，會形成新量子態<math>|\phi\rang</math>：
:<math>|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i  \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i  \ c_i O_i| e_i\rang</math>。

從左邊乘以量子態<math>\lang\psi|</math>，經過一番運算，可以得到
:<math>\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \  c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\  |c_i|^2O_i =\sum_i\  p_iO_i </math>。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量<math>O</math>的[[期望值 (量子力學)|期望值]]：
:<math>\lang O\rang=\sum_i\  p_iO_i </math>。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數<math>F(O) </math>的期望值：
:<math> \langle F( O ) \rangle = \lang \psi | F( \hat{O} ) | \psi \rang</math>。

例如，<math>F( \hat{O} )</math>可以是<math> \hat{O}^2 </math>，即重複施加算符<math> \hat{O} </math>兩次：
:<math>\lang O^2 \rang= \lang\psi \vert \hat{O}^2 \vert \psi \rang</math>。

===對易算符===
{{main|對易算符}}
假設兩種可觀察量<math>A</math>、<math>B</math>的算符分別為<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>，它們的對易算符定義為
:<math>[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}</math>。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態<math>|\psi\rang</math>時，會給出
:<math>[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rang=\hat{A}\hat{B}|\psi\rang-\hat{B}\hat{A}|\psi\rang</math>。

假設<math>[\hat{A},\hat{B}]=0</math>，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，<math>[\hat{A},\hat{B}]\ne 0</math>，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於[[不確定原理]]，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意[[精確度]]內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。<ref name=Ballentine1970>{{citation
 | last =Ballentine
 | first =L. E.
 | title =The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics
 | journal =Reviews of Modern Physics 
 | volume =42
 | pages =358-381
 | date =1970
 | url =http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.42.358
 | doi =10.1103/RevModPhys.42.358
}}</ref>

===厄米算符===
每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量<math>O</math>的期望值是實值： 
:<math>\lang O\rang=\lang O\rang^*</math>。

對於任意量子態<math>|\psi\rang</math>，這關係都成立：
:<math>\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*</math>。

根據[[伴隨算符]]的定義，假設<math>\hat{O}^{\dagger}</math>是<math>\hat{O}</math>的伴隨算符，則<math>\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang</math>。因此，
:<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}</math>。

這正是[[厄米算符]]的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。<ref name=Griffiths2004/>{{rp|96-99}}

===矩陣力學===
應用基底的[[完備性]]，添加單位算符<math>\hat{I}=\sum_{i}|e_i\rang\lang e_i|</math>於算符<math>\hat{O}</math>的兩旁，可以得到<ref name=Sakurai/>{{rp|20-23}}
:<math>\hat{O}=\sum_{i,j}|e_i\rang\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|=\sum_{ij}O_{i,j}|e_i\rang\lang e_j|</math>；

其中，<math>O_{ij}=\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang</math>是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：
:<math>\hat{O}\ \stackrel{rep}{=}\  \begin{pmatrix}
O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\
O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\
\end{pmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

算符<math>\hat{O}</math>與它的[[伴隨算符]]<math>\hat{O}^{\dagger}</math>彼此之間的關係為
:<math>\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang=\lang e_j|\hat{O}^{\dagger}|e_i\rang^*</math>。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的[[轉置共軛]]。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的[[對稱矩陣]]。

用矩陣代數來計算算符<math>\hat{O}</math>怎樣作用於量子態<math>|\psi\rang</math>，假設系統因此變換為量子態<math>|\phi\rang</math>：
:<math>|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang</math>。

從左邊乘以本徵態<math> \lang e_i|</math>，應用基底的[[完備性]]，添加單位算符<math>\hat{I}</math>於算符的右邊，可以得到
:<math> \lang e_i|\phi\rang= \lang e_i|\hat{O}|\psi\rang=\sum_j \lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|\psi\rang=\sum_{ij}O_{ij}\lang e_j|\psi\rang</math>。

右矢<math>|\phi\rang</math>、<math>|\psi\rang</math>分別用豎矩陣來代表
:<math>|\phi\rang\ \stackrel{rep}{=}\  \begin{pmatrix}
\lang e_1|\phi\rang \\
\lang e_2|\phi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\phi\rang \\
\end{pmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">、</span>　　　　<math>|\psi\rang\ \stackrel{rep}{=}\  \begin{pmatrix}
\lang e_1|\psi\rang \\
\lang e_2|\psi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\psi\rang \\
\end{pmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

兩個豎矩陣彼此之間的關係為
:<math>\begin{pmatrix}
\lang e_1|\phi\rang \\
\lang e_2|\phi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\phi\rang \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\
O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lang e_1|\psi\rang \\
\lang e_2|\psi\rang \\
\vdots \\
\lang e_n|\psi\rang \\
\end{pmatrix}
</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

假設算符<math>\hat{O}</math>是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。<ref>Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0</ref>以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的[[特徵多項式]]，就可以找到本徵值<math>\lambda</math>：
:<math> \det\left ( \hat{O} - \lambda\hat{I} \right ) = 0</math>。

===量子算符表格===
在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。
:{| class="wikitable"
|-valign="top"

! scope="col" width="200" | 算符名稱
! scope="col" width="200" | 直角坐標系分量表示
! scope="col" width="200" | 向量表示
|-valign="top"
! [[位置算符]]
|<math>\begin{align} \hat{x} = x \\
\hat{y} = y \\
\hat{z} = z 
\end{align}</math>
|<math> \mathbf{\hat{r}} = \mathbf{r} </math>
|-valign="top"
!rowspan="2"| [[動量算符]]
|一般狀況

<math> \begin{align}
\hat{p}_x & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \\
\hat{p}_y & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} \\
\hat{p}_z & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} 
\end{align}</math> 
|一般狀況

<math> \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla </math>
|-valign="top"
|電磁場

<math> \begin{align}
\hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} - qA_x \\
\hat{p}_y = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - qA_y \\
\hat{p}_z = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - qA_z 
\end{align}</math>
|電磁場（<math>\mathbf{A}</math>是[[磁向量勢]]）

<math>\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla - q\mathbf{A} </math>
|-valign="top"
!rowspan="3"| [[動能|動能算符]]
| 平移運動

<math> \begin{align} \hat{T}_x & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \\
\hat{T}_y & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial y^2} \\
\hat{T}_z & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \\
\end{align} </math> 
|| 平移運動

<math> \begin{align} \hat{T} & =  \hat{T}_x+ \hat{T}_y+ \hat{T}_z \\
 & = \frac{-\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \\
\end{align}</math>
|-valign="top"
|電磁場

<math> \begin{align} \hat{T}_x & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial x } - q A_x \right)^2 \\
\hat{T}_y & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - q A_y \right)^2 \\
\hat{T}_z & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - q A_z \right)^2 
\end{align}</math>
|電磁場（<math>\mathbf{A}</math>是[[磁向量勢]]）

<math> \begin{align} \hat{T} & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} \\
 & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})\cdot(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A}) \\
 & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})^2
\end{align}</math>
|-valign="top"
|旋轉運動（<math>I</math>是[[轉動慣量]]）

<math> \begin{align} 
\hat{T}_{xx} & = \frac{\hat{J}_x^2}{2I_{xx}} \\
\hat{T}_{yy} & = \frac{\hat{J}_y^2}{2I_{yy}} \\
\hat{T}_{zz} & = \frac{\hat{J}_z^2}{2I_{zz}} \\
\end{align}</math>
|旋轉運動 

<math> \hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{J}}\cdot\mathbf{\hat{J}}}{2I} </math>
|-valign="top"
! 勢能算符
|N/A
|<math> \hat{V} = V\left ( \mathbf{r}, t \right )  </math>
|-valign="top"
! 總[[能量算符]]
|N/A
|含時位勢：<br />
<math> \hat{E} = i \hbar \frac{\partial }{\partial t} </math>

不含時位勢：<br />
<math> \hat{E} = E </math>
|-valign="top"
! [[哈密頓算符]]
|N/A
|<math> \begin{align} \hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\
& = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} + V \\
& = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V \\
\end{align} </math>
|-valign="top"
! [[角動量算符]]
|<math>\begin{align}
\hat{L}_x & = -i\hbar \left(y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y}\right)\\
\hat{L}_y & = -i\hbar \left(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}\right)\\
\hat{L}_z & = -i\hbar \left(x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x}\right)
\end{align}</math>
|<math>\mathbf{\hat{L}} = -i\hbar \mathbf{r} \times \nabla </math>
|-valign="top"
! [[自旋算符]]
|<math>\begin{align}\hat{S}_x = {\hbar \over 2} \sigma_x\\
\hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y\\
\hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z 
\end{align}</math>

其中，

<math>
\sigma_x = \begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
</math> 

<math>
\sigma_y = \begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
</math> 

<math>
\sigma_z = \begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
</math>

是[[自旋1/2]]粒子的[[包立矩陣]]。
|<math>\mathbf{\hat{S}} = {\hbar \over 2} \boldsymbol{\sigma} </math>

其中，向量<math>\boldsymbol{\sigma} </math>的分量是包立矩陣。
|-valign="top"

! 總角動量算符
||<math>\begin{align}
\hat{J}_x & = \hat{L}_x + \hat{S}_x\\
\hat{J}_y & = \hat{L}_y + \hat{S}_y\\
\hat{J}_z & = \hat{L}_z + \hat{S}_z
\end{align}</math>
||<math>\begin{align}
\mathbf{\hat{J}} & = \mathbf{\hat{L}}+\mathbf{\hat{S}} \\
& = -i\hbar \mathbf{r}\times\nabla + \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} 
\end{align}</math>
|-valign="top"
! [[躍遷矩]]（電）<br/>（transition moment）
||<math>\begin{align}
\hat{d}_x & = qx\\
\hat{d}_y & = qy\\
\hat{d}_z & = qz
\end{align}</math>
||<math>\mathbf{\hat{d}} = q \mathbf{r} </math>
|-valign="top"
|}

===範例===
====位置算符====
{{main|位置算符}}
只思考一維問題，將位置算符<math>\hat{x}</math>施加於位置本徵態<math>|x\rang</math>，可以得到本徵值<math>x</math>，即粒子的位置：<ref name=Feynman2006>{{citation|last = 費曼|first = 理查|authorlink = 理查·費曼|last2 = 雷頓|first2 = 羅伯|last3 = 山德士|first3 = 馬修|title = 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式|publisher =天下文化書|location =台灣|date = 2006|pages = pp. 205-237|isbn = 986-417-672-2 }}</ref>{{rp|220-221}}
:<math>\hat{x}|x\rang=x|x\rang</math>。

由於位置基底具有[[完整性]]，<math>\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x</math>，任意量子態<math>|\psi\rang</math>可以按著位置本徵態形成的基底展開：
:<math>|\psi\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x </math>。

將位置算符<math>\hat{x}</math>施加於量子態<math>|\psi\rang</math>，由於算符<math>\hat{x}</math>只作用於右矢<math> |x\rang</math>，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：
:<math>\hat{x}|\psi\rang=\hat{x}\int_{ - \infty}^{\infty}\   |x\rang\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\   \hat{x}|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\   x|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x</math>。

左矢<math>\lang\psi|</math>與這方程式的內積為
:<math>\lang\psi|\hat{x}|\psi\rang
=\int_{ - \infty}^{\infty}\   x\lang\psi|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x</math>。

設定量子態<math>|\alpha\rang=\hat{x}|\psi\rang</math>。由於位置基底具有[[完整性]]，<math>\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\  | x\rang\lang x|\mathrm{d}x</math>，量子態<math>\lang\psi|</math>與<math>|\alpha\rang</math>的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為
:<math>\lang\psi|\alpha\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \psi| x\rang\lang x|\alpha\rang\mathrm{d}x=\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \psi| x\rang\lang x|\hat{x}|\psi\rang\mathrm{d}x</math>。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式
:<math>\lang x|\hat{x}|\psi\rang=x\lang x|\psi\rang</math>。

設定量子態<math>|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang </math>。量子態<math>|\Psi\rang</math>、<math>|\psi\rang</math>的位置空間表現，即[[波函數]]，分別定義為
:<math>\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang</math>、
:<math>\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang</math>。

兩個波函數<math>\Psi(x)</math>、<math>\psi(x)</math>之間的關係為
:<math>\Psi(x)=x\psi(x)</math>。

總結，位置算符<math>\hat{x}</math>作用於量子態<math>|\psi\rang</math>的結果<math>|\Psi\rang</math>，表現於位置空間，等價於波函數<math>\psi(x)</math>與<math>x</math>的乘積<math>\Psi(x)</math>。

====動量算符====
表現於位置空間，一維動量算符為
:<math>\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}</math>。

將動量算符<math>\hat{p}</math>施加於量子態<math>|\psi\rang</math>，可以得到類似前一節得到的結果：
:<math>\lang x|\hat{p}|\psi\rang= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang</math>。

應用位置基底所具有的[[完整性]]，對於任意量子態<math>|\phi\rang</math>，可以得到更廣義的結果：
:<math>\begin{align}\lang \phi|\hat{p}|\psi\rang & =\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \phi| x\rang\lang x|\hat{p}|\psi\rang\mathrm{d}x \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\  \lang \phi| x\rang\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\  \phi^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\psi(x)\mathrm{d}x \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\phi(x)=\lang x|\phi\rang</math>、<math>\psi(x)=\lang x|\psi\rang</math>分別是量子態<math>|\phi\rang</math>、<math>|\psi\rang</math>表現於位置空間的[[波函數]]。

假設<math>|\psi\rang</math>是<math>\hat{p}</math>的本徵態，本徵值為<math>p</math>，則可得到
:<math>\lang x|\hat{p}|\psi\rang=p\lang x|\psi\rang
= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang </math>。

將<math>|\psi\rang</math>改寫為本徵值為<math>p</math>的本徵態<math>|p\rang</math>，方程式改寫為
:<math> -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|p\rang =p\lang x|p\rang</math>。

這微分方程式的解析解為
:<math>\lang x|p\rang=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipx/\hbar}</math>。

所以，動量本徵態的[[波函數]]是一個[[平面波]]。不需要應用[[薛丁格方程式]]，就可以推導求得這出結果。<ref name=Sakurai/>{{rp|50-54}}

==參閱==
*[[有界算符]]
*[[表示論]]
*[[算子]]

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:算子理論|*]]

[[de:Operator (Mathematik)#Operatoren der Physik]]