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两个正[[实数]]<math>x</math>和<math>y</math>的'''算术-几何平均数'''定义如下：

首先计算<math>x</math>和<math>y</math>[[算术平均数]]（相加平均），称其为<math>a_1</math>。然后计算<math>x</math>和<math>y</math>[[几何平均数]]（相乘平均），称其为<math>g_1</math>；这是<math>xy</math>的[[算术平方根]]。

:<math>a_1 = \frac{x+y}{2}</math>

:<math>g_1 = \sqrt{xy}.</math>

然后重复这个步骤，这样便得到了两个[[数列]]<math>\{a_n\}</math>和<math>\{g_n\}</math>：

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}</math>

:<math>g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}.</math>

这两个数列[[极限|收敛]]于相同的数，这个数称为<math>x</math>和<math>y</math>的'''算术-几何平均数'''，记为<math>M(x,y)</math>，或<math>\mathrm{agm}(x,y)</math>。

==例子==
欲计算<math>a_0=24</math>和<math>g_0=6</math>的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

:<math>a_1=\frac{24+6}{2}=15,</math>

:<math>g_1=\sqrt{24 \times 6}=\,</math>{{Root|24 * 6|use math=yes}}

然后进行迭代：

:<math>a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,</math>

:<math>g_2=\sqrt{15 \times 12}=\,</math>{{Root|15 * 12|use math=yes}} etc.

继续计算，可得出以下的值：

:{| class="wikitable"
|-
! <math>n</math>
! <math>a_n</math>
! <math>g_n</math>
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| {{Root|(24 + 6)/2|1}}
| {{Root|24 * 6}}
|-
| 2
| {{Root|(15 + 12)/2|1}}
| {{Root|15 * 12}}...
|-
| 3
| {{Root| (sqrt(15 * 12) + 13.5) / 2 |1}}...
| {{Root|sqrt(15 * 12) * 13.5}}...
|-
| 4
| {{Root|(sqrt(sqrt(15 * 12) * 13.5) + ((sqrt(15 * 12) + 13.5) / 2)) / 2 |1}}...
| {{Root|sqrt(sqrt(15 * 12) * 13.5) * ((sqrt(15 * 12) + 13.5) / 2) }}...
|}

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

==性质==
<math>M(x,y)</math>是一个介于<math>x</math>和<math>y</math>的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果<math>r>0</math>，则<math>M(rx, ry) = r M(x, y)</math>。

<math>M(x,y)</math>还可以写为如下形式：

:<math>\Mu(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }</math>

其中<math>K(x)</math>是第一类完全[[椭圆积分]]。

1和[[2的算術平方根|<math>\sqrt{2}</math>]]的算术-几何平均数的倒数，称为[[高斯常数]]。

: <math> \frac{1}{\Mu(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots</math>

== 存在性的证明 ==
由算术几何不等式可得

:<math>g_n \leqslant a_n</math>

因此

:<math>g_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geqslant \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n</math>

这意味着 <math>\{g_n\}</math> 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（<math>x,y</math> 中的较大者）。根据[[单调收敛定理]]，存在 <math>g</math> 使得:

:<math>\lim_{n\to \infty}g_n = g</math>

然而，我们又有:

:<math>a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n}</math>

从而:

:<math>\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g</math>

证毕。

== 关于积分表达式的证明 ==
该证明由高斯首次提出<ref name="BerggrenBorwein2004">{{cite book |url=http://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA481 |title=Pi: A Source Book |author=David A. Cox |publisher=Springer |year=2004 |isbn=978-0-387-20571-7 |editor=J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein |page=481 |chapter=The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss |access-date=2014-08-12 |archive-date=2020-06-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200614015100/https://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA481 |dead-url=no}} first published in ''[[L'Enseignement Mathématique]]'', t. 30 (1984), p. 275-330</ref>。
令

:<math>I(x,y) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}},</math>

将积分变量替换为 <math>\theta'</math>, 其中

:<math> \sin\theta = \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'}, </math>

于是可得

:<math>
\begin{align}
I(x,y) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac{1}{2}(x+y)\bigr)^2\cos^2\theta'+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2\theta'}}\\
       &= I\bigl(\frac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr).
\end{align}
</math>

因此，我们有

:<math>
\begin{align}
I(x,y) &= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\
  &= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \frac{\pi}{2M(x,y)}.
\end{align}
</math>
最后一个等式可由 <math>I(z,z) = \frac{\pi}{2z}</math> 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

:<math>M(x,y) = \frac{\pi}{2 I(x,y)}. </math>

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 ===
{{ReflistH}}
* [[Jonathan Borwein]], [[Peter Borwein]], ''Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity.'' Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X  {{MathSciNet| id = 1641658}} 
* {{mathworld |urlname = Arithmetic-GeometricMean |title = Arithmetic-Geometric mean }}
{{ReflistF}}

== 参见 ==
* [[算术平均数]]
* [[几何平均数]]

{{-}}
{{統計學}}

[[Category:平均数]]
[[Category:特殊函数|A]]
[[Category:椭圆函数|A]]