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'''算术-几何平均值不等式'''，簡稱'''算几不等式'''，是一个常见而基本的[[不等式]]，表现[[算术平均数]]和[[几何平均数]]之间恒定的不等关系。设<math>x_1,x_2, \ldots, x_n</math>为<math>n</math>个非負[[实数]]，它们的'''[[算术平均数]]'''是<math>\mathbf{A}_n =  \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}</math>，它们的'''[[几何平均数]]'''是<math>\mathbf{G}_n = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}</math>。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负[[实数]]<math>x_1, \ldots, x_n</math>：
<center><math>\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n </math></center>

等号成立[[当且仅当]]<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>。

通常用于两个数之间，设这两个数为<math>a</math>和<math>b</math>，也就是<math>\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}</math>

算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是[[对数函数]]之[[凹函数|凹性]]的体现，在[[数学]]、[[自然科学]]、[[工程科学]]以及[[经济学]]等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为'''[[平均值不等式]]'''（或'''均值不等式'''），其實后者是一组更廣泛的不等式。

==例子==
在<math>n=4</math>的情况，设：<math>x_1 = 3.5,\ x_2 =6.2 ,\  x_3 = 8.4, \  x_4 = 5</math>，那么 
:<math>\mathbf{A}_4= \frac{3.5 + 6.2 + 8.4 + 5}{4} = 5.775, \ \mathbf{G}_4 = \sqrt[4]{3.5 \times 6.2 \times 8.4 \times 5} \approx 5.4945</math>
可见<math>\mathbf{A}_4 \ge \mathbf{G}_4 </math>。

==历史上的证明==
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。<math>n=2</math>的情况很早就为人所知，但对于一般的<math>n</math>，不等式并不容易证明。1729年，[[英国]][[数学家]][[麦克劳林]]最早给出一般情况的证明，用的是[[调整法]]，然而这个证明并不严谨，是错误的。

===柯西的证明===
1821年，法国数学家[[柯西]]在他的著作《[[分析教程]]》中给出一个使用'''[[数学归纳法|逆向归纳法]]'''的证明<ref>Augustin-Louis Cauchy, [http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-29058 ''Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique,''] {{Wayback|url=http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-29058 |date=20171014135801 }} Paris, 1821. p457.</ref>：

<div style="margin: 0 auto;border-style:solid;border-width:medium;border-color:#D8F6CE;padding-left:16px;padding-bottom:8px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#ECF8E0;width:60%;text-align:center;">命题<math>P_n</math>：对任意的<math>n</math>个正实数<math>x_1, \ldots, x_n</math>，<math>\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n </math>
</div>

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:8px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:90%;">
当<math>n=2</math>时，<math>P_2</math>显然成立。假设<math>P_n</math>成立，那么<math>P_{2n}</math>成立。证明：对于<math>2n</math>个正实数<math>x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n </math>， 
:<math> 
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + y_1 + \cdots y_n}{2n} = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + \frac{y_1 + \cdots + y_n}{n} \right) </math> 
:<math> \ge \ \frac{1}{2}  \left( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} +   \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} \right) 
 \ge \ \sqrt{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \cdot \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} } </math> 
:<math> = \ \sqrt[2n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n y_1 \cdot y_2 \cdots y_n}</math> 

假设<math>P_n</math>成立，那么<math>P_{n-1}</math>成立。证明：对于<math>n-1</math>个正实数<math>x_1, \cdots, x_{n-1} </math>，设<math>\mathbf{A}_{n-1}= \frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} }{n-1}</math>，<math> \mathbf{G}_{n-1} = \sqrt[n-1]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} }</math>，那么由于<math>P_n</math>成立，<math>\frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} + \mathbf{A}_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1}  \mathbf{A}_{n-1} }</math>。

但是<math>x_1 + \cdots + x_{n-1} = (n-1)\mathbf{A}_{n-1}</math>，<math>x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} = \mathbf{G}^{n-1}_{n-1}</math>，因此上式正好变成
: <math>\mathbf{A}_{n-1}^n \ge \mathbf{G}^{n-1}_{n-1} \mathbf{A}_{n-1} </math>
也就是说<math>\mathbf{A}_{n-1} \ge \mathbf{G}_{n-1}</math>

综上可以得到结论：对任意的[[自然数]]<math>n \ge 2</math>，命题<math>P_n</math>都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数<math>k</math>，命题<math>P_{2^k}</math>都成立。因此对任意的<math>n \ge 2</math>，可以先找<math>k</math>使得<math>2^k \ge n</math>，再结合第三条就可以得到命题<math>P_{n}</math>成立了。
</div>
</div>

===归纳法的证明===
使用常规数学归纳法的证明则有{{tsl|en|George Chrystal|乔治·克里斯托}}（George Chrystal）在其著作《代数论》（''Algebra''）的第二卷中给出的<ref>George Chrystal, [http://djm.cc/library/Algebra_Elementary_Text-Book_Part_II_Chrystal_edited02.pdf ''Algebra:An Elementary Text-Book, Part II''] {{Wayback|url=http://djm.cc/library/Algebra_Elementary_Text-Book_Part_II_Chrystal_edited02.pdf |date=20210202081234 }}, Chapter XXIV.p46.</ref>：

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:8px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:90%;">
由对称性不妨设<math>x_{n+1}</math>是<math>x_1, x_2 \cdots x_{n+1}</math>中最大的，由于<math>\mathbf{A}_{n+1} = \frac{n\mathbf{A}_n + x_{n+1}}{n+1}</math>，设<math>x_{n+1} = \mathbf{A}_n + b</math>，则<math>b \ge 0</math>，并且有<math>\mathbf{A}_{n+1} = \mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1} </math>。

根据[[二项式定理]]，
:<math> \mathbf{A}^{n+1}_{n+1} = (\mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1})^{n+1} \ge \mathbf{A}^{n+1}_{n} + (n+1)\mathbf{A}^{n}_{n} \frac{b}{n+1} = \mathbf{A}^{n}_{n}(\mathbf{A}_{n} + b ) = \mathbf{A}^{n}_{n}x_{n+1} \ge \mathbf{G}^{n}_{n}x_{n+1} </math>
:<math> = x_1 x_2 \cdots x_{n+1} = \mathbf{G}^{n+1}_{n+1}</math>
</div>
</div>

于是完成了从<math>n</math>到<math>n+1</math>的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明<ref>P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007</ref>：

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:8px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:90%;">
在<math>n</math>的情况下有不等式<math>\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n</math>和<math>x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} \ge n \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1} }</math>成立，于是：
:<math> \frac{ x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} }{n} \ge \mathbf{G}_n + \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}  \ge 2 \sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}_{n} x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}= 2\mathbf{G}_{n+1} </math>
所以<math>(n+1)\mathbf{A}_{n+1} = x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} \ge 2n \mathbf{G}_{n+1} - (n-1)\mathbf{G}_{n+1} = (n+1)\mathbf{G}_{n+1}</math>，从而有<math>\mathbf{A}_{n+1} \ge \mathbf{G}_{n+1}</math>。
</div>
</div>

===基于琴生不等式的证明===
注意到几何平均数<math> \mathbf{G}_n</math>实际上等于<math>\exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right)</math>，因此算术-几何平均不等式等价于：
: <math>\ln { \frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} } \ge \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n}</math>。
由于[[对数函数]]是一个[[凹函数]]，由[[琴生不等式]]可知上式成立。

===基于排序不等式的证明===
令<math>b_i  = \frac{{a_i }} {{{\mathbf{G}}_n }}(i=1,2,3,...,n)</math>，于是有<math>b_1 b_2 \cdots b_n=1</math>，再作代换<math>b_1  = \frac{{c_1 }}{{c_2 }},b_2  = \frac{{c_2 }}{{c_3 }},\cdots,b_n  = \frac{{c_n }}{{c_1 }}</math>，运用[[排序不等式]]得到：
: <math>\frac{{c_1 }}{{c_2 }} + \frac{{c_2 }}{{c_3 }} + \cdots + \frac{{c_n }}{{c_1 }} \geqslant \frac{{c_1 }}{{c_1 }} + \frac{{c_2 }}{{c_2 }} + ... + \frac{{c_n }}{{c_n }} = n</math>，
于是得到<math>a_1  + a_2  + \cdots + a_n  \geqslant n{\mathbf{G}}_n </math>，即原不等式成立。

此外还有基于[[伯努利不等式]]或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

==推广==
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

===加权算术-几何平均不等式===

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设<math>x_1, \cdots, x_n </math>和<math>p_1, \cdots, p_n </math>为正实数，并且<math>p_1 + p_2 \cdots + p_n =1 </math>，那么：
: <math>p_1 x_1 +p_2 x_2 \cdots + p_n x_n \ge x^{p_1}_1 x^{p_2}_2 \cdots x^{p_n}_n </math>。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

===矩阵形式===
算术-几何平均不等式可以看成是一维[[向量]]的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：
对于系数都是正实数的矩阵
<center><math>\begin{bmatrix}
  a_{11}      & \cdots & a_{1k}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  a_{n1}      & \cdots & a_{nk}
\end{bmatrix}</math></center>

设<math>A_{j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{ij}</math>，<math> G_{i}=\sqrt[k]{\prod_{j=1}^k a_{ij} }</math>，那么有：
: <math>\sqrt[k]{A_1 A_2 \cdots A_k} \leqslant \frac{G_1 + G_2 + \cdots + G_n}{n}</math>
也就是说：对<math>k</math>个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对<math>n</math>个横行取的<math>n</math>个几何平均数的算术平均。

===极限形式===
也称为'''积分形式'''：对任意在区间<math>[0,1]</math>上可积的正值函数<math>f</math>，都有 
<center> <math>\int_{0}^{1} f(x) dx \ge \exp (\int_{0}^{1} \ln f(x) dx )</math> </center>
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成<math>\frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n}  \ge \exp ( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} )</math>后，将两边的[[黎曼积分|黎曼和]]中的<math>n</math>趋于无穷大后得到的形式。

===算數-幾何-調和平均值不等式===
若再規定<math>x_1,x_2, \ldots, x_n</math>的调和平均数<math>H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}.</math>

則有
<center><math>\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n </math></center>
且等号依舊成立[[当且仅当]]<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>。

證明由算數-幾何平均值不等式知

<math>\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \frac{1}{x_2} \cdots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}}</math>

故

<math>\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}</math>

即

<center><math> \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n </math></center>

且等號成立於

<math>\frac{1}{x_1}= \frac{1}{x_2}= \cdots= \frac{1}{x_n}</math>

即

<math> x_1=x_2=\cdots =x_n</math>

==参见==
*[[平均数不等式]]
*[[算术平均数]]
*[[几何平均数]]
*[[幂平均不等式]]
*[[杨氏不等式]]

==参考来源==
{{reflist}}
*匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
*李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
*莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
*李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。

[[Category:代数不等式|S]]
[[Category:代数|S]]
[[Category:平均数]]