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| 1 =-{zh-hans:素数; zh-hant:質數; zh-mo:素數; zh:質数}-
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'''算术基本定理'''，又称为'''[[正整數]]的唯一分解定理'''，即：每个大于1的[[自然数]]，要么本身就是[[质数]]，要么可以写为2個或以上的質數的[[积]]，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。

例如：<math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2</math>，<math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2</math>，<math>5207 = 41 \times 127</math>。

算术基本定理的内容由两部分构成：
* 分解的存在性：
* 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是[[初等數論]]中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

== 定理陳述 ==
<math>\forall A\in\mathbb{N},\,A>1\quad\exist \prod_{i=1}^n p_i^{a_i}=A</math>. 其中 <math>p_1<p_2<p_3<\cdots<p_n</math> 而且 <math>p_i</math> 是一个[[質数]]，<math>a_i\in\mathbb{Z}^+</math>.

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

== 證明 ==
算术基本定理的最早证明是由[[欧几里得]]给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數<math>p|ab</math>，则不是 <math> p|a</math>，就是<math>p|b</math>。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

=== 存在性 ===
用[[反證法]]：假設存在大於 <math>1</math> 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 <math>n</math>。

<math>n</math> 不可爲質數，因爲 <math>n=n</math> 可被寫成質數的乘積。因此 <math>n</math> 一定是[[合数|合數]]，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 <math>1</math> 的自然數的積。設 
<math>n = a \times b</math> ，則根據假設，由於 <math>n</math> 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 <math>a=p_1p_2...p_j</math> 和 <math>b=q_1q_2...q_j</math> 都能被寫成質數的乘積。然而 <math>n=ab=p_1p_2...p_jq_1q_2...q_j</math> 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 <math>1</math> 的自然數必可寫成質數的乘積。

=== 唯一性 ===

[[歐幾里得引理]]：若質數<math>p|ab</math>，则不是 <math> p|a</math>，就是<math>p|b</math>。

引理的证明：若<math>p|a</math> 则证明完毕。若<math>p \nmid a</math>，那么两者的[[最大公约数]]为1。根据[[貝祖等式]]，存在<math>(m, n)</math> 使得<math>ma + np =1</math>。于是<math>b = b(ma + np) = abm + bnp</math>。
由于<math>p|ab</math>，上式右边两项都可以被''p''整除。所以<math>p|b</math>。

再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设<math>n</math>是其中最小的一個。

首先<math>n</math>不是質数。將<math>n</math>用兩種方法寫出：<math>n=p_1 p_2 p_3 \cdots p_r = q_1 q_2 q_3 \cdots q_s</math> 。根據引理，質数<math>p_1|q_1 q_2 q_3 \cdots q_s</math> ，所以<math>q_1, q_2, q_3 \cdots q_s</math> 中有一個能被<math>p_1</math>整除，不妨设为<math>q_1</math>。但<math>q_1</math>也是質数，因此<math>q_1 = p_1</math> 。所以，比<math>n</math>小的正整数<math>n'=p_2 p_3 \cdots p_r</math>也可以写成<math>q_2 q_3 \cdots q_s</math> 。这与''<math>n</math>'' 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

== 推廣 ==
在一般的[[數域]]中，並不存在相應的定理；事實上，在虛[[二次域]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d}) \quad (d \in \mathbb{N})</math> 之中，只有少數幾個能滿足。例如，<math>6</math>可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積：<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。一個自然的問題是<math>a+b \sqrt[]{-d}</math>哪个<math>d</math>值可以得到唯一分解定理？在高斯时代，已知有9个<math>d</math>使得<math>a+b \sqrt[]{-d}</math>所产生的数有唯一因子分解（<math>a</math>，<math>b</math>如上面指出那样取值）。<math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math>高斯认为<math>d</math>的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。
1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师{{le|庫爾特·黑格納|Kurt Heegner}}（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（Alan Baker）独立用不同方法证明了第10个<math>d</math>值不存在。两个人重新检查了黑格纳的工作，发现他的证明是正确的。
为了紀念长期被忽视的黑格纳，上述的9個數被稱為[[黑格纳数]]，一些曲线上的点被命名为黑格纳点。

歐幾里得在普通整數 <math>\mathbb{Z}</math> 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，[[高斯]]則在複整數 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math> 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 <math>(\pm 1, \pm i)</math> 之作用，那麼這個唯一分解定理在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math> 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。


== 外部連結 ==
* {{en}} [http://demonstrations.wolfram.com/FundamentalTheoremOfArithmetic/ Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/FundamentalTheoremOfArithmetic/ |date=20090411113315 }}

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{{基本定理}}

[[Category:数论]]
[[Category:数学定理|S]]

[[de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik]]