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{{General geometry}}

在数学中，'''算术几何'''（arithmetic geometry）大致是从[[代数几何]]到[[数论]]问题的技术的应用<ref>{{cite web|title=Introduction to Arithmetic Geometry|last=Sutherland|first=Andrew V.|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|date=September 5, 2013|accessdate=22 March 2019|archive-date=2016-01-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20160108173635/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|dead-url=no}}</ref>。算术几何围绕着{{le|丟番圖几何|Diophantine geometry}}，这是[[代数簇]]{{le|有理点|Rational point}}的研究<ref name="Quanta">{{cite web|url=https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/|title=Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry|last=Klarreich|first=Erica|date=June 28, 2016|accessdate=March 22, 2019|archive-date=2021-01-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20210125014000/https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/|dead-url=no}}</ref><ref name="poonen-notes">{{cite web|title=Introduction to Arithmetic Geometry|last=Poonen|first=Bjorn|authorlink=Bjorn Poonen|url=http://math.mit.edu/~poonen/782/782notes.pdf|year=2009|accessdate=March 22, 2019|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507011124/http://math.mit.edu/~poonen/782/782notes.pdf|dead-url=no}}</ref>。

用更抽象的术语来说，算术几何可以定义为对{{le|整数环|Ring of integers}}的[[環的譜|譜]]内的有限[[概形]](scheme)方案的研究<ref>{{nlab|id=arithmetic+geometry|title=Arithmetic geometry}}</ref>。

== 概述 ==
算术几何主要的研究对象是有理点：即多项式方程组在[[代数数域]]、[[有限域]]、[[P進數]]、或函数域上的解集。(研究对象是非代数闭域,所以不包括本来即为[[代數閉域]]的[[实数|实数域]]。) 有理点的特征可以用衡量其算术复杂性的高度函数(height function)来表示。<ref>{{cite book | first=Serge | last=Lang | author-link=Serge Lang | title=Survey of Diophantine Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=3-540-61223-8 | zbl=0869.11051 | pages=43–67 }}</ref>

随着代数几何的现代抽象发展，当前的主要的研究方向是在非代数闭域上定义的代数簇的结构。在有限域上，[[平展上同调]](Étale cohomology)提供了与代数簇相关的[[拓扑不变量]]<ref name="grothendieck-cohomology"/>。[[霍奇理论]]提供了工具来检查[[复数 (数学)|复数]]上的上同调性质如何扩展到[[P進數]]上<ref>{{cite journal | last=Serre | first=Jean-Pierre | author-link=Jean-Pierre Serre | title=Résumé des cours, 1965–66 | journal=Annuaire du Collège de France | location=Paris | year=1967 | pages=49–58}}</ref>。

== 历史 ==
算术几何原指从[[格尔德·法尔廷斯|法尔廷斯]]（Faltings,G.）、[[丹尼尔·奎伦|奎伦]]（Quillen,D.G.）等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作，现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、[[代数数论]]、李群、多复变函数论、黎曼面、K理论等，所以，它是典型的边缘学科。[[丢番图方程]]是算术几何的一个重要课题，其中的问题可以自然地用几何语言表达。在许多著名问题如莫德尔猜想、[[费马大定理]]等的研究中，都表明几何方法的必要性。这正是算术几何的生命力所在。
[[File:Example of a hyperelliptic curve.svg|thumb|根据[[莫德尔猜想]](法尔廷斯定理)形如<math>y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)</math>的超椭圆曲线的有理点解是有限的,<math>(-2.0),(-1,0)</math>]]

== 参阅 ==
* [[贝赫和斯维讷通-戴尔猜想]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}

{{数学领域}}

[[Category:算术几何| ]]
[[Category:数学分支]]