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在[[數論]]中，'''算數數列中的質數'''的研究範圍包括任何包含至少三個在[[等差數列]]中彼此相鄰的[[質數]]的[[數列]]。一個這樣的序列的例子是<math>(3, 7, 11)</math>，而這序列可由<math>a_n = 3 + 4n</math>在<math>0 \le n \le 2</math>時給出。

根據[[格林-陶定理]]，在質數構成的數列中，存在{{link-en|任意大|Arbitrarily large|任意長}}的等差數列。

有時這概念也可用以指涉同時包含合數的等差數列中出現的質數，像例如說，這概念也可用以指稱有著<math>an + b</math>這樣形式且<math>a</math>與<math>b</math>[[互質]]的等差數列；而根據[[狄利克雷定理]]，這樣的數列包含無限多的質數，也包含無限多的合數。

對於大於3的正整數<math>k</math>而言，'''AP-k'''（又作'''PAP-k'''）指的是任意等差數列中任意<math>k</math>個彼此相鄰的質數。一個AP-k可寫成<math>an + b</math>這樣變數<math>n</math>為<math>k</math>個連續數值的形式，其中<math>a</math>（公差）與<math>b</math>是固定數。一般以<math>n=0</math>至<math>k</math>來表達一個AP-k，這總可藉由將<math>b</math>給定義成算術數列中的第一個質數達成。

在本文中，以<math>q\#=2\times3\times5\times7\times\cdots\times q</math>代表對於質數<math>q</math>的[[質數階乘]]，以<math>x\#=2\times3\times5\times7\times\cdots\times q</math>代表對於所有不大於<math>x</math>的質數（其中<math>q</math>是不大於<math>x</math>的最大質數）的[[質數階乘]]。

==性質==
任何由質數構成的等差數列，其長度皆有限。在2004年，{{link-en|本·格林|Ben_Green_(mathematician)}}和[[陶哲軒]]藉由證明[[格林-陶定理]]解決了一個懸宕多年的舊[[猜想]]，也就是質數集合中包含任意長度等差數列的猜想。<ref>{{citation|doi=10.4007/annals.2008.167.481|first1=Ben|last1=Green|author1-link=Ben J. Green|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=Terence Tao|arxiv=math.NT/0404188 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|year=2008|issue=2|pages=481–547|mr=2415379|s2cid=1883951}}</ref>由此可立即推得說，對於任意<math>k</math>而言，都存在有無限多個AP-k。

假若一個AP-k不以質數<math>k</math>起始，那其公差就是形如<math>k\#=2\times3\times5\cdots\times j</math>這樣的[[質數階乘]]，其中<math>j</math>不大於<math>k</math>的質數中最大的質數。

:'''證明'''：設要證明的AP-k的形式為<math>an + b</math>，其中<math>n</math>是變數，其數值為<math>k</math>個連續正整數。若<math>a</math>不能為質數<math>p</math>除盡，那根據[[模算數]]，在這等差序列中，每隔<math>p</math>項就會有一項被<math>p</math>除盡。<ref>取自{{cite arXiv  |last = Weber |first = H.J. |author-link = H.J. Weber |eprint=1102.3075 |title = Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets |class = math.NT |date = 2011-02-15 }}的推論10</ref><ref>亦可參照{{cite arXiv  |last = Weber |first = H.J. |author-link = H.J. Weber |eprint=1103.0447v3 |title = Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers |class = math.NT |date = 2012-05-19 }}的定理2.3</ref>因此若AP對於連續<math>k</math>個值都是質數，那麼<math>a</math>就必然為所有不大於<math>k</math>的質數<math>p \le k</math>所除盡。

這也顯示了一個包含公差<math>a</math>的AP，其連續的質數項的數量，不能超過最小且不能除盡<math>a</math>的質數的值。

若<math>k</math>是一個質數，那麼AP-k就可以<math>k</math>起始並包含大小僅為而<math>(k-1)\#</math>非<math>k\#</math>的公差。<ref>
取自{{cite arXiv  |last = Weber |first = H.J. |author-link = H.J. Weber |eprint=1105.4092 |title = Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets |class = math.NT |date = 2011-02-15 }}的第三節。</ref>像例如包含<math>(3, 5, 7)</math>這三項的AP-3，其公差為<math>2\#=2</math>；而包含<math>(5, 11, 17, 23, 29)</math>這五項的AP-5，其公差為<math>4\#=6</math>。目前有猜想認為，對所有為質數的<math>k</math>，都有如此的例子。截至{{As of|2018}}為止，已確認有此性質的最大質數是<math>k=19</math>，而相關的AP-19如下，由Wojciech Iżykowski於2013年發現：

:<math>19 + 4244193265542951705\cdot 17\#\cdot n</math>，其中<math>n</math>的值為0到18。<ref name="APrecords" />

這猜想可由[[迪克森猜想]]或[[哈代-李特爾伍德第一猜想|質數k元組猜想]]等廣泛認為正確的猜想得出，在其中，若<math>p > 2</math>是最小不能為<math>a</math>所除盡的數，那就存在有無限多公差為<math>a</math>的AP-<math>p-1</math>。像例如5是不能除盡6的最小質數，因此可期望說有無限多的AP-4，其公差為6，而這樣的數組又稱為[[六質數]]四胞胎；而當<math>a=2</math>且<math>p=3</math>時，這即是[[孿生質數猜想]]，在此情況下，此AP-2會包含<math>b</math>跟<math>b+2</math>這兩個質數。

==AP中最小的質數==

此處的最後項最小化<ref>{{Cite web |title=A133277 - OEIS |url=https://oeis.org/A133277 |access-date=2024-11-05 |website=oeis.org}}</ref>

{| class="wikitable"
|+ 最小AP-k
|-
! k !! 從<math>n=0</math>到<math>k-1</math>間的質數形式
|-
! 3
| <math>3 + 2n</math>
|-
! 4
| <math>5 + 6n</math>
|-
! 5
| <math>5 + 6n</math>
|-
! 6
| <math>7 + 30n</math>
|-
! 7
| <math>7 + 150n</math>
|-
! 8
| <math>199 + 210n</math>
|-
! 9
| <math>199 + 210n</math>
|-
! 10
| <math>199 + 210n</math>
|-
! 11
| <math>110437 + 13860n</math>
|-
! 12
| <math>110437 + 13860n</math>
|-
! 13
| <math>4943 + 60060n</math>
|-
! 14
| <math>31385539 + 420420n</math>
|-
! 15
| <math>115453391 + 4144140n</math>
|-
! 16
| <math>53297929 + 9699690n</math>
|-
! 17
| <math>3430751869 + 87297210n</math>
|-
! 18
| <math>4808316343 + 717777060n</math>
|-
! 19
| <math>8297644387 + 4180566390n</math>
|-
! 20
| <math>214861583621 + 18846497670n</math>
|-
! 21
| <math>5749146449311 + 26004868890n</math>
|-
! 22
| <math>19261849254523 + 784801917900n</math>
|-
! 23
| <math>403185216600637 + 2124513401010n</math>
|}

==AP中最大已知的質數==
{{As of|2019|9}}為止，已知最長的AP-k是AP-27，同時也已知數個AP-26的例子。這些數列的第一個是由Benoît Perichon在2010年4月12日以一台[[PlayStation 3]]發現的，他用的軟體由Jarosław Wróblewski及Geoff Reynolds所開發、由Bryan Little轉平台到PlayStation 3上，並作為{{link-en|PrimeGrid|PrimeGrid}}計畫的一部分發布。以下是他發現的質數序列：<ref name="APrecords" />
:<math>43142746595714191 + 23681770\cdot23\#\cdot n</math>，其中<math>n</math>的值為0到25。{{OEIS|id=A204189}}

在發現第一個AP-26時，{{link-en|PrimeGrid|PrimeGrid}}將整個搜尋分成131,436,182個段落，<ref name="PrimeGridForum">John, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1158&nowrap=true#22787  ''AP26 Forum'']. Retrieved 2013-10-20.</ref>並交由全球各地的32跟64位元CPA、[[Nvidia]] [[CUDA]] GPU以及[[Cell (微處理器)|Cell微處理器]]等進行搜尋。

在此之前，已知最長的數列是由Raanan Chermoni和Jarosław Wróblewski在2008年5月17日發現的一個AP-25：<ref name="APrecords" />
:<math>6171054912832631 + 366384\cdot23\#\cdot n</math>，其中<math>n</math>的值為0到24。（另外<math>23\# = 223092870</math>）

對這AP-25的搜尋是在一台CPU為[[Athlon 64]]的電腦上進行的，搜尋的部分首先分成段落，並花了大約3分鐘。對此Wróblewski說道：「我認為Raanan搜尋的段落少於10,000,000個。」（而用Athlon 64的CPU大概要花57個CPU年才能完成完整的搜尋）<ref>{{cite mailing list | url = http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/19359 | archive-url = https://archive.today/20120529015657/http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/19359 | url-status = dead | archive-date = May 29, 2012 | title = AP25 | mailing-list = primenumbers | date = 2008-05-17 | access-date=2008-05-17 | last = Wróblewski |first = Jarosław }}</ref>

更早以前的紀錄，是一個由在2007年1月18日由Jarosław Wróblewski獨自發現的AP-24：
:<math>468395662504823 + 205619\cdot23\#\cdot n</math>，其中<math>n</math>的值為0到23。
對此Wróblewski回報說他用了75台電腦，其中15台裝載64位元的[[Athlon]]中央處理器，15台裝載64位元的[[Pentium D]] 805中央處理器；30台裝載32位元的Athlon 2500中央處理器，以及15台裝載[[Duron]] 900中央處理器。<ref>{{cite mailing list | url = http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/8248 | archive-url = https://archive.today/20120529015657/http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/8248 | url-status = dead | archive-date = May 29, 2012 | title = AP24 | mailing-list = primeform | date = 2007-01-18 | access-date=2007-06-17 | last = Wróblewski |first = Jarosław }}</ref>

下表顯示了歷來最大已知的AP-k及其發現年分和末項質數的數字位數。

應當注意的是，最大已知的AP-k可能會以已知的AP-(k+1)結尾。

一些記錄創造者首先先計算大量形如<math>c\cdot p\# + 1</math>且<math>p</math>固定的質數然後再開始對不同的<math>c</math>尋找能生出質數的AP。這反映在一些紀錄的表現形式中，而這些紀錄可輕易地重寫成<math>a\cdot n+b</math>的形式。
{| class="wikitable"
|+ {{as of|2023|12|lc=o1}}為止，最大已知的AP-k<ref name="APrecords">Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, [https://www.pzktupel.de/JensKruseAndersen/aprecords.htm''Primes in Arithmetic Progression Records'']. Retrieved 2023-12-11.</ref>
|-
! k !! 從<math>n=0</math>的值為0到<math>n=k-1</math>的質數形式 !! 位數 !! 年分 !! 發現者
|-
! 3
| (503·2<sup>1092022</sup>−1) + (1103·2<sup>3558176</sup> − 503·2<sup>1092022</sup>)·''n'' ||align="right" | 1071122 || 2022 || Ryan Propper, Serge Batalov
|-
! 4
| (263093407 + 928724769·''n'')·2<sup>99901</sup>−1 ||align="right" | 30083 || 2022 || Serge Batalov
|-
! 5
| (440012137 + 18195056·''n'')·30941#+1 ||align="right" | 13338 || 2022 || Serge Batalov
|-
! 6
| (1445494494 + 141836149·''n'')·16301# + 1 ||align="right" | 7036 || 2018 || Ken Davis
|-
! 7
| (2554152639 + 577051223·''n'')·7927# + 1 ||align="right" | 3407 || 2022 || Serge Batalov
|-
! 8
| (48098104751 + 3026809034·''n'')·5303# + 1 ||align="right" | 2271 || 2019 || Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis
|-
! 9
| (65502205462 + 6317280828·''n'')·2371# + 1 ||align="right" | 1014 || 2012 || Ken Davis, Paul Underwood
|-
! 10
| (20794561384 + 1638155407·''n'')·1050# + 1 ||align="right" | 450 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 11
| (16533786790 + 1114209832·''n'')·666# + 1 ||align="right" | 289 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 12
| (15079159689 + 502608831·''n'')·420# + 1 ||align="right" | 180 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 13
| (50448064213 + 4237116495·''n'')·229# + 1 ||align="right" | 103 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 14
| (55507616633 + 670355577·''n'')·229# + 1 ||align="right" | 103 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 15
| (14512034548 + 87496195·n)·149# + 1 ||align="right" | 68 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 16
| (9700128038 + 75782144·(''n''+1))·83# + 1 ||align="right" | 43 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 17
| (9700128038 + 75782144·''n'')·83# + 1 ||align="right" | 43 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 18
| (33277396902 + 139569962·(''n''+1))·53# + 1 ||align="right" | 31 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 19
| (33277396902 + 139569962·''n'')·53# + 1 ||align="right" | 31 || 2019 || Norman Luhn
|-
! 20
| 23 + 134181089232118748020·19#·''n'' ||align="right" | 29 || 2017 || Wojciech Izykowski
|-
! 21
| 5547796991585989797641 + 29#·''n'' ||align="right" | 22 || 2014 || Jarosław Wróblewski
|-
! 22
| 22231637631603420833 + 8·41#·(''n'' + 1) ||align="right" | 20 || 2014 || Jarosław Wróblewski
|-
! 23
| 22231637631603420833 + 8·41#·''n'' ||align="right" | 20 || 2014 || Jarosław Wróblewski
|-
! 24
| 230885165611851841 + 297206938·23#·''n'' ||align="right" | 19 || 2023 || Rob Gahan, PrimeGrid
|-
! 25
| 290969863970949269 + 322359616·23#·''n'' ||align="right" | 19 || 2024 || Rob Gahan, PrimeGrid
|-
! 26
| 233313669346314209 + 331326280·23#·''n'' ||align="right" | 19 || 2024 || Rob Gahan, PrimeGrid
|-
! 27
| 605185576317848261 + 155368778·23#·''n'' ||align="right" | 19 || 2023 || Michael Kwok, PrimeGrid
|}

==等差數列中的相鄰質數==
'''等差數列中的相鄰質數'''（Consecutive primes in arithmetic progression）一般涉及的是三個彼此相鄰，在等差數列中也彼此為相鄰項的質數。和AP-k不同的是，在此所有其他相鄰質數中間的所有其他的、那些不在等差數列中的數，都必須是合成數。像是<math>(3, 7, 11)</math>這個AP-3數列就不合定義，因為5也是質數。

對於大於3的正整數<math>k</math>而言，'''CPAP-k'''指的是等差數列中<math>k</math>個彼此在等差數列外也相鄰的質數。目前有猜想認為存在有任意長度的CPAP，也就是說，對於任意的<math>k</math>都有無限多個CPAP-k。CPAP-3的中間項又稱為[[平衡質數]]，{{as of|2022|lc=on}}為止，已知最大的平衡質數有15004位數。

第一個已知的CPAP-10在1998年由Manfred Toplic在參與[[分布式計算]]計畫CP10時發現，而CP10這項分布式計算計畫是由Harvey Dubner、Tony Forbes、Nik Lygeros、Michel Mizony和Paul Zimmermann等人組織發起的。<ref>H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, [https://www.ams.org/mcom/2002-71-239/S0025-5718-01-01374-6/home.html ''Ten consecutive primes in arithmetic progression''], [[Mathematics of Computation]] 71 (2002), 1323–1328.</ref>這個CP10有著最小可能的公差<math>7\#=210</math>；而{{as of|2018|lc=on}}為止，只有另一個CPAP-10是已知的，且是由同一人在2008年發現的。

若CPAP-11存在，則其公差必然為<math>11\#=2310</math>的倍數，也因此其中第一項和最後一項質數的差會是23100的倍數，這代表在這11個質數之間，至少會有23090個合成數，因此要找到CPAP-11會是極為困難的。Dubner和Zimmermann估計說，找到CPAP-11的難度，至少會是找到CPAP-10的<math>10^{12}</math>倍。<ref>Manfred Toplic, [http://www.manfred-toplic.com/cp09.html ''The nine and ten primes project'']. Retrieved on 2007-06-17.</ref>

==AP中最小的相鄰質數==
目前只知道當<math>k \le 6</math>時，相應的CPAP-k的首次出現處。{{OEIS|A006560}}

{| class="wikitable"
|+ 最小CPAP-k<ref name="minitable">Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, [https://www.pzktupel.de/JensKruseAndersen/mini.html''The minimal & the smallest known CPAP-k'']. Retrieved 2022-12-20.</ref>
|-
! k !! 從<math>n=0</math>的值為0到<math>n=k-1</math>的質數形式
|-
! 3
| 3 + 2''n''
|-
! 4
| 251 + 6''n''
|-
! 5
| 9843019 + 30''n''
|-
! 6
| 121174811 + 30''n''
|}

==AP中已知最大的相鄰質數==
此表顯示等差數列中已知最大的<math>k</math>個相鄰質數，分別從<math>k=3</math>到<math>k=10</math>。

{| class="wikitable"
|+ {{as of|2024|06|lc=on}}為止最大已知的CPAP-k<ref name="CPAPrecords">Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, [https://www.pzktupel.de/JensKruseAndersen/CPAP.htm ''The Largest Known CPAP's'']. Retrieved on 2022-12-20.</ref><ref name="Chris K. Caldwell">Chris K. Caldwell, [https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=13''The Largest Known CPAP's'']. Retrieved on 2021-01-28.</ref>
|-
! k !! 從<math>n=0</math>的值為0到<math>n=k-1</math>的質數形式 !! 位數 !! 年分 !! 發現者
|-
! 3
| 17484430616589 · 2<sup>54201</sup> - 7 + 6''n'' || align="right" | 16330 || 2024 || Serge Batalov
|-
! 4
| 35734184537 · 11677#/3 - 9 + 6''n'' || align="right" | 5002 || 2024 || Serge Batalov
|-
! 5
| 2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30''n'' || align="right" | 1805 || 2022 || Serge Batalov
|-
! 6
| 533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30''n'' || align="right" | 1012 || 2021 || Serge Batalov
|-
! 7
| 145706980166212 · 1069# + ''x''<sub>253</sub> + 420 + 210''n'' || align="right" | 466 || 2021 || Serge Batalov
|-
! 8
| 8081110034864 · 619# + ''x''<sub>253</sub> + 210 + 210''n'' || align="right" | 272 || 2021 || Serge Batalov
|-
! 9
| 7661619169627 · 379# + ''x''<sub>153</sub> + 210''n'' || align="right" | 167 || 2021 || Serge Batalov
|-
! 10
| 189382061960492204 · 257# + ''x''<sub>106</sub> + 210''n'' || align="right" | 121 || 2021 || Serge Batalov
|}
<math>x_d</math>指的是一個在上述紀錄用以保證在不尋常多地、依條件要求的合成數中都會有小因數的d位數字。
<small>
* <math>x_{106} = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791</math>
* <math>x_{153} = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x_{253} % 379\#</math>
* <math>x_{253} = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727</math>
</small>

==參見==
*{{link-en|坎寧安鏈|Cunningham chain}}
*[[塞邁雷迪定理]]
*{{link-en|PrimeGrid|PrimeGrid}}
*{{link-en|等差數列相關的問題|Problems involving arithmetic progressions}}

==出處==
{{reflist}}

==參考資料==
*Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=ArithmeticSequence ''The Prime Glossary: arithmetic sequence''], [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=14 ''The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes''] and [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=13 ''The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression''], all from the [[Prime Pages]].
*{{MathWorld|title=Prime Arithmetic Progression|urlname=PrimeArithmeticProgression}}
*Jarosław Wróblewski, [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/AP26/AP26v3.pdf ''How to search for 26 primes in arithmetic progression?'']
*[[Paul Erdős|P. Erdős]] and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

{{質數}}

[[Category:素數]]