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'''算子范数'''是[[数学]]中[[泛函分析]]里的概念。算子范数衡量的是[[线性映射]]或[[线性算子]]的“大小”，通常指的是两个[[赋范向量空间]]之间的[[有界算子|有界线性映射]]所构成的空间的范数。

==简介与定义==
给定两个赋范向量空间{{math|''E''}}和{{math|''F''}}，假定它们的系数域相同（一般是[[实数]]域<math>\mathbb{R}</math>或[[复数 (数学)|复数]]域<math>\mathbb{C}</math>）。从{{math|''E''}}到{{math|''F''}}的一个线性映射{{math|''A''}}是连续的当且仅当存在常数{{math|''c'' > 0}}使得：
:<math>\forall u \in E, \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E.</math>
其中的<math>\| \cdot \|_E</math>和<math>\| \cdot \|_F</math>分别是空间{{math|''E''}}和{{math|''F''}}上装备的范数。这个定义说明，连续线性映射将一个{{math|''E''}}里面的向量映射到{{math|''F''}}中时，其“长度”的改变不会超过{{math|''c''}}倍。常数{{math|''c''}}是对线性映射{{math|''A''}}的“效果”的一个上界估计。所以，有界的集合经过连续映射后的像仍然会是有界集合。因为这一点，连续线性映射也被称作有界算子。而为了“精确计算”线性映射的“大小”，会引进算子范数的定义。有界线性算子的范数是能够作为上界估计的{{math|''c''}}所有常数中“最小”的一个：
: <math>\|A\|_{op} = \inf \{c \; ; \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E , \; \; \forall u \in E\}.</math>
其中的<math>\inf</math>指[[下确界]]。由于[[实数]]集合<math>\{c; \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E \; \forall u \in E\}</math>是有下界的[[闭集]]，定义中的下确界<math>\inf</math>可以改成“最小元素”：<math>\min</math>。

当{{math|''F''}}是{{math|''E''}}的系数域时，从{{math|''E''}}到{{math|''F''}}的连续线性映射被称为连续线性泛函。连续线性泛函构成的空间被称为从{{math|''E''}}的[[对偶空间]]，而连续线性泛函的算子范数被称为[[对偶范数]]。对偶空间在对偶范数下是一个[[巴拿赫空间]]。

==例子==
考虑两个装备了正则欧几里德范数的欧几里德空间：<math>\mathbb{R}^n</math>和<math>\mathbb{R}^m</math>，其中<math>n, m</math>都是正整数。从<math>\mathbb{R}^n</math>映射到<math>\mathbb{R}^m</math>的有界线性算子（线性映射）都可以用<math>n \times m</math>的[[矩阵]]来表示。所以这些算子构成的空间实际上是矩阵空间：<math>\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})</math>，而对应的算子范数也称为[[矩阵范数]]。假设某个线性映射对应的矩阵是<math>A</math>，那么它的矩阵范数是<math>A^* A</math>的最大[[特征值]]的[[平方根]]，或者说是<math>A</math>的最大的[[奇异值]]。

对于无限维的赋范空间，常见的例子有平方可加序列空间<math>\ell^2</math>。其定义为：
:<math>\ell^2 = \{ (a_n)_{n \in\mathbb{N}} ; \; \; a_n \in \mathbb{C}, \; \sum_n |a_n|^2 < \infty \}.</math>
给定一个有界数列<math>s = (s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \ell^\infty</math>，考虑从<math>\ell^2</math>到自身的线性算子<math>T_s</math>：
:<math>\forall a = (a_n)_{n \in\mathbb{N}} \in \ell^2, \; \; T(a) = (s_n \cdot a_n)_{n \in\mathbb{N}}.</math>
由于<math>s</math>是有界序列，其范数<math>\|s \|_\infty = \sup \{ |s_n| ; \; \; n\in\mathbb{N}\} < +\infty</math>，所以<math>\| T_s(a) \|_2 \leqslant \|s\|_\infty  \| a \|_2</math>。<math>T</math>是连续线性算子（有界算子）。而<math>T_s</math>的算子范数：
:<math>\| T_s \|_{op} = \|s\|_\infty.</math>

类似的例子还有[[Lp空间|<math>L^p</math>空间]]之间的映射。例如考虑平方可积函数的空间<math>L^2(\mathbb{R})</math>，设有从<math>L^2(\mathbb{R})</math>映射到<math>L^2(\mathbb{R})</math>的线性算子<math>T_f</math>：
:<math>\forall \varphi \in L^2(\mathbb{R}), \; \; (T_f(\varphi))(t) = f(t)\phi(t).</math>
其中{{math|''f''}} 为给定的有界函数。则<math>T_f</math>是连续线性算子，其算子范数为：
:<math>\| T_f \|_{op} = \|f\|_\infty.</math>

==等价定义==
线性算子{{math|''A''}}的算子范数除了定义为
: <math>\|A\|_{op} = \inf \{c; \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E \; \forall u \in E\}.</math>
以外，还可以用以下等价的方式定义{{r|kf|page1=97}}：
#{{math|''A''}}的算子范数是{{math|''A''}}在单位闭球上取值的上确界：<math>\|A\|_{op} = \sup\{\|A(u)\|_F ; \; \; u \in E, \; \; \|u\|_E \le 1\},</math>
#{{math|''A''}}的算子范数是{{math|''A''}}在单位开球上取值的上确界：<math>\|A\|_{op} = \sup\{\|A(u)\|_F ; \; \; u \in E, \; \; \|u\|_E < 1\},</math>
#{{math|''A''}}的算子范数是{{math|''A''}}在单位球面上取值的上确界：<math>\|A\|_{op} = \sup\{\|A(u)\|_F ; \; \; u \in E, \; \; \|u\|_E = 1\},</math>
#{{math|''A''}}的算子范数是{{math|''A''}}在{{math|''E''}}中非零元素上取值和元素范数之比的上确界：<math>\|A\|_{op} = \sup\{\frac{\|A(u)\|_F}{\|u\|_E} ; \; \; u \in E, \; \; u \neq 0\}.</math>

==性质==
算子范数是所有从{{math|''E''}}到{{math|''F''}}的有界线性算子构成的空间上的范数，因此满足范数的基本性质：
*正定性：<math>\|A\|_{op} \geqslant 0</math>，并且<math> \|A\|_{op} = 0 </math>当且仅当<math>A = 0.</math>
*线性性：<math>\forall a \in \mathbb{K}, \; \; \|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op}.</math>
*次可加性：<math>\|A + B\|_{op} \leqslant \|A\|_{op} + \|B\|_{op} .</math>{{r|kf|page1=98}}
此外，由算子范数的定义可推出以下不等式：
:<math>\forall u \in E, \; \; \|A(u)\|_F \leqslant \|A\|_{op} \|u\|_E .</math>{{r|kf|page1=97}}
有界算子复合後的算子范数仍然存在。假设有从{{math|''E''}}到{{math|''F''}}的有界线性算子{{math|''A''}}以及从{{math|''F''}}到{{math|''G''}}的有界线性算子{{math|''B''}}，那么复合算子{{math|''B''}}<math>\circ</math>{{math|''A''}}也是从{{math|''E''}}到{{math|''G''}}的有界线性算子，其算子范数满足不等式：
:<math>\|B \circ A\|_{op} \leqslant \|B\|_{op} \|A\|_{op} .</math>{{r|kf|page1=98}}
例如当{{math|''A''}}是{{math|''E''}}到自身的有界线性算子时，有：<math>\|A^{(n)}\|_{op} \leqslant \|A\|^n_{op} .</math>

如果{{math|''F''}}是[[完备空间]]，那么从{{math|''E''}}到{{math|''F''}}的有界线性算子构成的空间，在装备了算子范数下是完备的空间。{{r|kf|page1=98}}
==参见==
==参考来源==
{{reflist|refs=
<ref name="kf">{{cite book|author=A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 译|title=Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces|year=1957|publisher=Ghaylock Press|location=New York | language = en}}</ref> 
}}

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[[Category:算子理论]]
[[Category:范数]]